Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29376 / 44614
↖ ↑ ↗
← S 54.386955°
W 18.632813°		 ← 355.70 m → S 54.386955°
W 18.627319°		 →
↑
355.69 m
↓
↑
355.69 m
↓
S 54.390154°
W 18.632813°		 ← 355.68 m →
126 516 m²		 S 54.390154°
W 18.627319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29376 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44614 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448249816894531 y=0.680763244628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448249816894531 × 216)
    floor (0.448249816894531 × 65536)
    floor (29376.5)     		tx = 29376
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680763244628906 × 216)
    floor (0.680763244628906 × 65536)
    floor (44614.5)     		ty = 44614
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29376 / 44614 ti = "16/29376/44614"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29376/44614.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29376 ÷ 216
    29376 ÷ 65536     		x = 0.4482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44614 ÷ 216
    44614 ÷ 65536     		y = 0.680755615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4482421875 × 2 - 1) × π
    -0.103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32520393
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.680755615234375 × 2 - 1) × π
    -0.36151123046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.13572102579837
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32520393} λ = -0.32520393}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13572102579837))-π/2
    2×atan(0.321190451222843)-π/2
    2×0.310782443391687-π/2
    0.621564886783375-1.57079632675     		φ = -0.94923144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32520393} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.632813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94923144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.386955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29376 KachelY 44614 -0.32520393 -0.94923144 -18.632813 -54.386955
    Oben rechts KachelX + 1 29377 KachelY 44614 -0.32510805 -0.94923144 -18.627319 -54.386955
    Unten links KachelX 29376 KachelY + 1 44615 -0.32520393 -0.94928727 -18.632813 -54.390154
    Unten rechts KachelX + 1 29377 KachelY + 1 44615 -0.32510805 -0.94928727 -18.627319 -54.390154
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94923144--0.94928727) × R
    5.5829999999979e-05 × 6371000     		dl = 355.692929999866m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94923144--0.94928727) × R
    5.5829999999979e-05 × 6371000     		dr = 355.692929999866m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32520393--0.32510805) × cos(-0.94923144) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.582308076227123 × 6371000     		do = 355.703750179264m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32520393--0.32510805) × cos(-0.94928727) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.582262687304668 × 6371000     		du = 355.676024288806m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94923144)-sin(-0.94928727))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.582308076227123-0.582262687304668)×R²
    abs(-0.32510805--0.32520393)×4.53889224548698e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.53889224548698e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.53889224548698e-05×40589641000000     		ar = 126516.378194519m²