Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29376 / 44264
↖ ↑ ↗
← S 53.252069°
W 18.632813°		 ← 365.47 m → S 53.252069°
W 18.627319°		 →
↑
365.44 m
↓
↑
365.44 m
↓
S 53.255355°
W 18.632813°		 ← 365.44 m →
133 552 m²		 S 53.255355°
W 18.627319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29376 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44264 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448249816894531 y=0.675422668457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448249816894531 × 216)
    floor (0.448249816894531 × 65536)
    floor (29376.5)     		tx = 29376
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.675422668457031 × 216)
    floor (0.675422668457031 × 65536)
    floor (44264.5)     		ty = 44264
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29376 / 44264 ti = "16/29376/44264"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29376/44264.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29376 ÷ 216
    29376 ÷ 65536     		x = 0.4482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44264 ÷ 216
    44264 ÷ 65536     		y = 0.6754150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4482421875 × 2 - 1) × π
    -0.103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32520393
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6754150390625 × 2 - 1) × π
    -0.350830078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.10216519606433
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32520393} λ = -0.32520393}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10216519606433))-π/2
    2×atan(0.332151132237027)-π/2
    2×0.320686196326163-π/2
    0.641372392652327-1.57079632675     		φ = -0.92942393
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32520393} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.632813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92942393 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.252069°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29376 KachelY 44264 -0.32520393 -0.92942393 -18.632813 -53.252069
    Oben rechts KachelX + 1 29377 KachelY 44264 -0.32510805 -0.92942393 -18.627319 -53.252069
    Unten links KachelX 29376 KachelY + 1 44265 -0.32520393 -0.92948129 -18.632813 -53.255355
    Unten rechts KachelX + 1 29377 KachelY + 1 44265 -0.32510805 -0.92948129 -18.627319 -53.255355
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92942393--0.92948129) × R
    5.73600000000063e-05 × 6371000     		dl = 365.44056000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92942393--0.92948129) × R
    5.73600000000063e-05 × 6371000     		dr = 365.44056000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32520393--0.32510805) × cos(-0.92942393) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.598295672263515 × 6371000     		do = 365.469796879735m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32520393--0.32510805) × cos(-0.92948129) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.598249710121565 × 6371000     		du = 365.441720837301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92942393)-sin(-0.92948129))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.598295672263515-0.598249710121565)×R²
    abs(-0.32510805--0.32520393)×4.59621419499623e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.59621419499623e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.59621419499623e-05×40589641000000     		ar = 133552.357208982m²