Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29373 / 44731
↖ ↑ ↗
← S 54.759501°
W 18.649292°		 ← 352.47 m → S 54.759501°
W 18.643799°		 →
↑
352.44 m
↓
↑
352.44 m
↓
S 54.762671°
W 18.649292°		 ← 352.44 m →
124 220 m²		 S 54.762671°
W 18.643799°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29373 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44731 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448204040527344 y=0.682548522949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448204040527344 × 216)
    floor (0.448204040527344 × 65536)
    floor (29373.5)     		tx = 29373
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682548522949219 × 216)
    floor (0.682548522949219 × 65536)
    floor (44731.5)     		ty = 44731
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29373 / 44731 ti = "16/29373/44731"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29373/44731.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29373 ÷ 216
    29373 ÷ 65536     		x = 0.448196411132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44731 ÷ 216
    44731 ÷ 65536     		y = 0.682540893554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448196411132812 × 2 - 1) × π
    -0.103607177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32549155
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.682540893554688 × 2 - 1) × π
    -0.365081787109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.14693826030946
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32549155} λ = -0.32549155}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14693826030946))-π/2
    2×atan(0.31760771437527)-π/2
    2×0.307531369548707-π/2
    0.615062739097414-1.57079632675     		φ = -0.95573359
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32549155} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.649292°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95573359 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.759501°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29373 KachelY 44731 -0.32549155 -0.95573359 -18.649292 -54.759501
    Oben rechts KachelX + 1 29374 KachelY 44731 -0.32539567 -0.95573359 -18.643799 -54.759501
    Unten links KachelX 29373 KachelY + 1 44732 -0.32549155 -0.95578891 -18.649292 -54.762671
    Unten rechts KachelX + 1 29374 KachelY + 1 44732 -0.32539567 -0.95578891 -18.643799 -54.762671
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95573359--0.95578891) × R
    5.53199999999698e-05 × 6371000     		dl = 352.443719999808m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95573359--0.95578891) × R
    5.53199999999698e-05 × 6371000     		dr = 352.443719999808m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32549155--0.32539567) × cos(-0.95573359) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.577009762898151 × 6371000     		do = 352.467267640758m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32549155--0.32539567) × cos(-0.95578891) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.576964580110661 × 6371000     		du = 352.439667668149m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95573359)-sin(-0.95578891))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.577009762898151-0.576964580110661)×R²
    abs(-0.32539567--0.32549155)×4.51827874907718e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.51827874907718e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.51827874907718e-05×40589641000000     		ar = 124220.011298532m²