Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29367 / 44094
↖ ↑ ↗
← S 52.689702°
W 18.682251°		 ← 370.22 m → S 52.689702°
W 18.676758°		 →
↑
370.22 m
↓
↑
370.22 m
↓
S 52.693032°
W 18.682251°		 ← 370.19 m →
137 056 m²		 S 52.693032°
W 18.676758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29367 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44094 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448112487792969 y=0.672828674316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448112487792969 × 216)
    floor (0.448112487792969 × 65536)
    floor (29367.5)     		tx = 29367
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.672828674316406 × 216)
    floor (0.672828674316406 × 65536)
    floor (44094.5)     		ty = 44094
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29367 / 44094 ti = "16/29367/44094"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29367/44094.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29367 ÷ 216
    29367 ÷ 65536     		x = 0.448104858398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44094 ÷ 216
    44094 ÷ 65536     		y = 0.672821044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448104858398438 × 2 - 1) × π
    -0.103790283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32606679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.672821044921875 × 2 - 1) × π
    -0.34564208984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.08586665019351
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32606679} λ = -0.32606679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08586665019351))-π/2
    2×atan(0.337609070105998)-π/2
    2×0.32559376877394-π/2
    0.65118753754788-1.57079632675     		φ = -0.91960879
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32606679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.682251°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91960879 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.689702°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29367 KachelY 44094 -0.32606679 -0.91960879 -18.682251 -52.689702
    Oben rechts KachelX + 1 29368 KachelY 44094 -0.32597092 -0.91960879 -18.676758 -52.689702
    Unten links KachelX 29367 KachelY + 1 44095 -0.32606679 -0.91966690 -18.682251 -52.693032
    Unten rechts KachelX + 1 29368 KachelY + 1 44095 -0.32597092 -0.91966690 -18.676758 -52.693032
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91960879--0.91966690) × R
    5.81100000000001e-05 × 6371000     		dl = 370.218810000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91960879--0.91966690) × R
    5.81100000000001e-05 × 6371000     		dr = 370.218810000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32606679--0.32597092) × cos(-0.91960879) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.606131357586346 × 6371000     		do = 370.217620227229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32606679--0.32597092) × cos(-0.91966690) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.606085137928624 × 6371000     		du = 370.189389825559m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91960879)-sin(-0.91966690))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.606131357586346-0.606085137928624)×R²
    abs(-0.32597092--0.32606679)×4.6219657721891e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.6219657721891e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.6219657721891e-05×40589641000000     		ar = 137056.301127171m²