Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29364 / 44750
↖ ↑ ↗
← S 54.819679°
W 18.698730°		 ← 351.91 m → S 54.819679°
W 18.693237°		 →
↑
351.87 m
↓
↑
351.87 m
↓
S 54.822843°
W 18.698730°		 ← 351.88 m →
123 821 m²		 S 54.822843°
W 18.693237°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29364 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44750 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448066711425781 y=0.682838439941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448066711425781 × 216)
    floor (0.448066711425781 × 65536)
    floor (29364.5)     		tx = 29364
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682838439941406 × 216)
    floor (0.682838439941406 × 65536)
    floor (44750.5)     		ty = 44750
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29364 / 44750 ti = "16/29364/44750"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29364/44750.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29364 ÷ 216
    29364 ÷ 65536     		x = 0.44805908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44750 ÷ 216
    44750 ÷ 65536     		y = 0.682830810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44805908203125 × 2 - 1) × π
    -0.1038818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32635441
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.682830810546875 × 2 - 1) × π
    -0.36566162109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.14875986249503
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32635441} λ = -0.32635441}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14875986249503))-π/2
    2×atan(0.317029686097236)-π/2
    2×0.307006219269436-π/2
    0.614012438538872-1.57079632675     		φ = -0.95678389
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32635441} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.698730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95678389 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.819679°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29364 KachelY 44750 -0.32635441 -0.95678389 -18.698730 -54.819679
    Oben rechts KachelX + 1 29365 KachelY 44750 -0.32625854 -0.95678389 -18.693237 -54.819679
    Unten links KachelX 29364 KachelY + 1 44751 -0.32635441 -0.95683912 -18.698730 -54.822843
    Unten rechts KachelX + 1 29365 KachelY + 1 44751 -0.32625854 -0.95683912 -18.693237 -54.822843
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95678389--0.95683912) × R
    5.52300000000727e-05 × 6371000     		dl = 351.870330000463m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95678389--0.95683912) × R
    5.52300000000727e-05 × 6371000     		dr = 351.870330000463m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32635441--0.32625854) × cos(-0.95678389) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.576151625665101 × 6371000     		do = 351.906366621854m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32635441--0.32625854) × cos(-0.95683912) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.576106482941806 × 6371000     		du = 351.878793998561m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95678389)-sin(-0.95683912))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.576151625665101-0.576106482941806)×R²
    abs(-0.32625854--0.32635441)×4.5142723295144e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.5142723295144e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.5142723295144e-05×40589641000000     		ar = 123820.558389848m²