Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29363 / 44752
↖ ↑ ↗
← S 54.826008°
W 18.704224°		 ← 351.89 m → S 54.826008°
W 18.698730°		 →
↑
351.81 m
↓
↑
351.81 m
↓
S 54.829172°
W 18.704224°		 ← 351.86 m →
123 792 m²		 S 54.829172°
W 18.698730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29363 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44752 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448051452636719 y=0.682868957519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448051452636719 × 216)
    floor (0.448051452636719 × 65536)
    floor (29363.5)     		tx = 29363
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682868957519531 × 216)
    floor (0.682868957519531 × 65536)
    floor (44752.5)     		ty = 44752
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29363 / 44752 ti = "16/29363/44752"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29363/44752.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29363 ÷ 216
    29363 ÷ 65536     		x = 0.448043823242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44752 ÷ 216
    44752 ÷ 65536     		y = 0.682861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448043823242188 × 2 - 1) × π
    -0.103912353515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32645029
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.682861328125 × 2 - 1) × π
    -0.36572265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.14895161009351
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32645029} λ = -0.32645029}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14895161009351))-π/2
    2×atan(0.316968902244046)-π/2
    2×0.306950985752429-π/2
    0.613901971504859-1.57079632675     		φ = -0.95689436
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32645029} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.704224°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95689436 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.826008°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29363 KachelY 44752 -0.32645029 -0.95689436 -18.704224 -54.826008
    Oben rechts KachelX + 1 29364 KachelY 44752 -0.32635441 -0.95689436 -18.698730 -54.826008
    Unten links KachelX 29363 KachelY + 1 44753 -0.32645029 -0.95694958 -18.704224 -54.829172
    Unten rechts KachelX + 1 29364 KachelY + 1 44753 -0.32635441 -0.95694958 -18.698730 -54.829172
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95689436--0.95694958) × R
    5.52199999999115e-05 × 6371000     		dl = 351.806619999436m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95689436--0.95694958) × R
    5.52199999999115e-05 × 6371000     		dr = 351.806619999436m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32645029--0.32635441) × cos(-0.95689436) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.576061330287118 × 6371000     		do = 351.887916176628m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32645029--0.32635441) × cos(-0.95694958) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.57601619222337 × 6371000     		du = 351.860343523583m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95689436)-sin(-0.95694958))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.576061330287118-0.57601619222337)×R²
    abs(-0.32635441--0.32645029)×4.51380637487286e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.51380637487286e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.51380637487286e-05×40589641000000     		ar = 123791.648319268m²