Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29362 / 44091
↖ ↑ ↗
← S 52.679712°
W 18.709717°		 ← 370.30 m → S 52.679712°
W 18.704224°		 →
↑
370.35 m
↓
↑
370.35 m
↓
S 52.683043°
W 18.709717°		 ← 370.27 m →
137 135 m²		 S 52.683043°
W 18.704224°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29362 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44091 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448036193847656 y=0.672782897949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448036193847656 × 216)
    floor (0.448036193847656 × 65536)
    floor (29362.5)     		tx = 29362
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.672782897949219 × 216)
    floor (0.672782897949219 × 65536)
    floor (44091.5)     		ty = 44091
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29362 / 44091 ti = "16/29362/44091"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29362/44091.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29362 ÷ 216
    29362 ÷ 65536     		x = 0.448028564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44091 ÷ 216
    44091 ÷ 65536     		y = 0.672775268554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448028564453125 × 2 - 1) × π
    -0.10394287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32654616
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.672775268554688 × 2 - 1) × π
    -0.345550537109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.08557902879579
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32654616} λ = -0.32654616}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08557902879579))-π/2
    2×atan(0.337706187664499)-π/2
    2×0.325680946918945-π/2
    0.651361893837889-1.57079632675     		φ = -0.91943443
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32654616} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.709717°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91943443 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.679712°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29362 KachelY 44091 -0.32654616 -0.91943443 -18.709717 -52.679712
    Oben rechts KachelX + 1 29363 KachelY 44091 -0.32645029 -0.91943443 -18.704224 -52.679712
    Unten links KachelX 29362 KachelY + 1 44092 -0.32654616 -0.91949256 -18.709717 -52.683043
    Unten rechts KachelX + 1 29363 KachelY + 1 44092 -0.32645029 -0.91949256 -18.704224 -52.683043
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91943443--0.91949256) × R
    5.81299999999896e-05 × 6371000     		dl = 370.346229999934m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91943443--0.91949256) × R
    5.81299999999896e-05 × 6371000     		dr = 370.346229999934m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32654616--0.32645029) × cos(-0.91943443) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.606270028136048 × 6371000     		do = 370.302318503046m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32654616--0.32645029) × cos(-0.91949256) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.606223798714272 × 6371000     		du = 370.274082137611m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91943443)-sin(-0.91949256))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.606270028136048-0.606223798714272)×R²
    abs(-0.32645029--0.32654616)×4.62294217763448e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.62294217763448e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.62294217763448e-05×40589641000000     		ar = 137134.839040989m²