Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29361 / 44141
↖ ↑ ↗
← S 52.845913°
W 18.715210°		 ← 368.89 m → S 52.845913°
W 18.709717°		 →
↑
368.88 m
↓
↑
368.88 m
↓
S 52.849230°
W 18.715210°		 ← 368.86 m →
136 072 m²		 S 52.849230°
W 18.709717°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29361 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44141 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448020935058594 y=0.673545837402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448020935058594 × 216)
    floor (0.448020935058594 × 65536)
    floor (29361.5)     		tx = 29361
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.673545837402344 × 216)
    floor (0.673545837402344 × 65536)
    floor (44141.5)     		ty = 44141
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29361 / 44141 ti = "16/29361/44141"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29361/44141.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29361 ÷ 216
    29361 ÷ 65536     		x = 0.448013305664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44141 ÷ 216
    44141 ÷ 65536     		y = 0.673538208007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448013305664062 × 2 - 1) × π
    -0.103973388671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32664203
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.673538208007812 × 2 - 1) × π
    -0.347076416015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.0903727187578
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32664203} λ = -0.32664203}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0903727187578))-π/2
    2×atan(0.336091202863422)-π/2
    2×0.324230580008894-π/2
    0.648461160017788-1.57079632675     		φ = -0.92233517
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32664203} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.715210°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92233517 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.845913°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29361 KachelY 44141 -0.32664203 -0.92233517 -18.715210 -52.845913
    Oben rechts KachelX + 1 29362 KachelY 44141 -0.32654616 -0.92233517 -18.709717 -52.845913
    Unten links KachelX 29361 KachelY + 1 44142 -0.32664203 -0.92239307 -18.715210 -52.849230
    Unten rechts KachelX + 1 29362 KachelY + 1 44142 -0.32654616 -0.92239307 -18.709717 -52.849230
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92233517--0.92239307) × R
    5.79000000000551e-05 × 6371000     		dl = 368.880900000351m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92233517--0.92239307) × R
    5.79000000000551e-05 × 6371000     		dr = 368.880900000351m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32664203--0.32654616) × cos(-0.92233517) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.603960641523257 × 6371000     		do = 368.891773403965m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32664203--0.32654616) × cos(-0.92239307) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.603914493392065 × 6371000     		du = 368.863586689825m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92233517)-sin(-0.92239307))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603960641523257-0.603914493392065)×R²
    abs(-0.32654616--0.32664203)×4.61481311921919e-05×R²
    9.58700000000534e-05×4.61481311921919e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×4.61481311921919e-05×40589641000000     		ar = 136071.930643584m²