Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29358 / 43758
↖ ↑ ↗
← S 51.556582°
W 18.731690°		 ← 379.79 m → S 51.556582°
W 18.726196°		 →
↑
379.78 m
↓
↑
379.78 m
↓
S 51.559998°
W 18.731690°		 ← 379.76 m →
144 230 m²		 S 51.559998°
W 18.726196°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29358 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43758 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447975158691406 y=0.667701721191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447975158691406 × 216)
    floor (0.447975158691406 × 65536)
    floor (29358.5)     		tx = 29358
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667701721191406 × 216)
    floor (0.667701721191406 × 65536)
    floor (43758.5)     		ty = 43758
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29358 / 43758 ti = "16/29358/43758"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29358/43758.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29358 ÷ 216
    29358 ÷ 65536     		x = 0.447967529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43758 ÷ 216
    43758 ÷ 65536     		y = 0.667694091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447967529296875 × 2 - 1) × π
    -0.10406494140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32692966
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.667694091796875 × 2 - 1) × π
    -0.33538818359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.05365305364883
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32692966} λ = -0.32692966}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05365305364883))-π/2
    2×atan(0.348661739824098)-π/2
    2×0.335482108298505-π/2
    0.67096421659701-1.57079632675     		φ = -0.89983211
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32692966} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.731690°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89983211 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.556582°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29358 KachelY 43758 -0.32692966 -0.89983211 -18.731690 -51.556582
    Oben rechts KachelX + 1 29359 KachelY 43758 -0.32683378 -0.89983211 -18.726196 -51.556582
    Unten links KachelX 29358 KachelY + 1 43759 -0.32692966 -0.89989172 -18.731690 -51.559998
    Unten rechts KachelX + 1 29359 KachelY + 1 43759 -0.32683378 -0.89989172 -18.726196 -51.559998
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89983211--0.89989172) × R
    5.96099999999877e-05 × 6371000     		dl = 379.775309999922m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89983211--0.89989172) × R
    5.96099999999877e-05 × 6371000     		dr = 379.775309999922m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32692966--0.32683378) × cos(-0.89983211) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.621741472264228 × 6371000     		do = 379.791698509953m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32692966--0.32683378) × cos(-0.89989172) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.621694783264222 × 6371000     		du = 379.7631784652m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89983211)-sin(-0.89989172))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.621741472264228-0.621694783264222)×R²
    abs(-0.32683378--0.32692966)×4.66890000057063e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.66890000057063e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.66890000057063e-05×40589641000000     		ar = 144230.094475331m²