Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29356 / 43772
↖ ↑ ↗
← S 51.604371°
W 18.742676°		 ← 379.35 m → S 51.604371°
W 18.737183°		 →
↑
379.39 m
↓
↑
379.39 m
↓
S 51.607783°
W 18.742676°		 ← 379.32 m →
143 918 m²		 S 51.607783°
W 18.737183°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29356 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43772 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447944641113281 y=0.667915344238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447944641113281 × 216)
    floor (0.447944641113281 × 65536)
    floor (29356.5)     		tx = 29356
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667915344238281 × 216)
    floor (0.667915344238281 × 65536)
    floor (43772.5)     		ty = 43772
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29356 / 43772 ti = "16/29356/43772"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29356/43772.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29356 ÷ 216
    29356 ÷ 65536     		x = 0.44793701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43772 ÷ 216
    43772 ÷ 65536     		y = 0.66790771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44793701171875 × 2 - 1) × π
    -0.1041259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32712140
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66790771484375 × 2 - 1) × π
    -0.3358154296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.0549952868382
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32712140} λ = -0.32712140}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0549952868382))-π/2
    2×atan(0.348194068397314)-π/2
    2×0.335065066576932-π/2
    0.670130133153864-1.57079632675     		φ = -0.90066619
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32712140} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.742676°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90066619 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.604371°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29356 KachelY 43772 -0.32712140 -0.90066619 -18.742676 -51.604371
    Oben rechts KachelX + 1 29357 KachelY 43772 -0.32702553 -0.90066619 -18.737183 -51.604371
    Unten links KachelX 29356 KachelY + 1 43773 -0.32712140 -0.90072574 -18.742676 -51.607783
    Unten rechts KachelX + 1 29357 KachelY + 1 43773 -0.32702553 -0.90072574 -18.737183 -51.607783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90066619--0.90072574) × R
    5.95500000000193e-05 × 6371000     		dl = 379.393050000123m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90066619--0.90072574) × R
    5.95500000000193e-05 × 6371000     		dr = 379.393050000123m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32712140--0.32702553) × cos(-0.90066619) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.621087985817259 × 6371000     		do = 379.352945831107m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32712140--0.32702553) × cos(-0.90072574) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.621041312948649 × 6371000     		du = 379.324438613769m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90066619)-sin(-0.90072574))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.621087985817259-0.621041312948649)×R²
    abs(-0.32702553--0.32712140)×4.66728686107087e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.66728686107087e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.66728686107087e-05×40589641000000     		ar = 143918.463468093m²