Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29354 / 43770
↖ ↑ ↗
← S 51.597548°
W 18.753662°		 ← 379.41 m → S 51.597548°
W 18.748169°		 →
↑
379.46 m
↓
↑
379.46 m
↓
S 51.600960°
W 18.753662°		 ← 379.38 m →
143 964 m²		 S 51.600960°
W 18.748169°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29354 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43770 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447914123535156 y=0.667884826660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447914123535156 × 216)
    floor (0.447914123535156 × 65536)
    floor (29354.5)     		tx = 29354
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667884826660156 × 216)
    floor (0.667884826660156 × 65536)
    floor (43770.5)     		ty = 43770
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29354 / 43770 ti = "16/29354/43770"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29354/43770.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29354 ÷ 216
    29354 ÷ 65536     		x = 0.447906494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43770 ÷ 216
    43770 ÷ 65536     		y = 0.667877197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447906494140625 × 2 - 1) × π
    -0.10418701171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32731315
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.667877197265625 × 2 - 1) × π
    -0.33575439453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.05480353923972
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32731315} λ = -0.32731315}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05480353923972))-π/2
    2×atan(0.348260840175193)-π/2
    2×0.335124617115908-π/2
    0.670249234231817-1.57079632675     		φ = -0.90054709
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32731315} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.753662°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90054709 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.597548°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29354 KachelY 43770 -0.32731315 -0.90054709 -18.753662 -51.597548
    Oben rechts KachelX + 1 29355 KachelY 43770 -0.32721728 -0.90054709 -18.748169 -51.597548
    Unten links KachelX 29354 KachelY + 1 43771 -0.32731315 -0.90060665 -18.753662 -51.600960
    Unten rechts KachelX + 1 29355 KachelY + 1 43771 -0.32721728 -0.90060665 -18.748169 -51.600960
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90054709--0.90060665) × R
    5.95599999999585e-05 × 6371000     		dl = 379.456759999736m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90054709--0.90060665) × R
    5.95599999999585e-05 × 6371000     		dr = 379.456759999736m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32731315--0.32721728) × cos(-0.90054709) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.621181324946804 × 6371000     		do = 379.409956229895m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32731315--0.32721728) × cos(-0.90060665) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.621134648646328 × 6371000     		du = 379.381446916416m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90054709)-sin(-0.90060665))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.621181324946804-0.621134648646328)×R²
    abs(-0.32721728--0.32731315)×4.66763004761672e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.66763004761672e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.66763004761672e-05×40589641000000     		ar = 143964.263719432m²