Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29353 / 44515
↖ ↑ ↗
← S 54.069059°
W 18.759155°		 ← 358.42 m → S 54.069059°
W 18.753662°		 →
↑
358.43 m
↓
↑
358.43 m
↓
S 54.072283°
W 18.759155°		 ← 358.39 m →
128 463 m²		 S 54.072283°
W 18.753662°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29353 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44515 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447898864746094 y=0.679252624511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447898864746094 × 216)
    floor (0.447898864746094 × 65536)
    floor (29353.5)     		tx = 29353
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679252624511719 × 216)
    floor (0.679252624511719 × 65536)
    floor (44515.5)     		ty = 44515
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29353 / 44515 ti = "16/29353/44515"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29353/44515.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29353 ÷ 216
    29353 ÷ 65536     		x = 0.447891235351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44515 ÷ 216
    44515 ÷ 65536     		y = 0.679244995117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447891235351562 × 2 - 1) × π
    -0.104217529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32740902
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.679244995117188 × 2 - 1) × π
    -0.358489990234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.1262295196736
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32740902} λ = -0.32740902}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1262295196736))-π/2
    2×atan(0.324253546053701)-π/2
    2×0.313556608948393-π/2
    0.627113217896786-1.57079632675     		φ = -0.94368311
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32740902} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.759155°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94368311 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.069059°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29353 KachelY 44515 -0.32740902 -0.94368311 -18.759155 -54.069059
    Oben rechts KachelX + 1 29354 KachelY 44515 -0.32731315 -0.94368311 -18.753662 -54.069059
    Unten links KachelX 29353 KachelY + 1 44516 -0.32740902 -0.94373937 -18.759155 -54.072283
    Unten rechts KachelX + 1 29354 KachelY + 1 44516 -0.32731315 -0.94373937 -18.753662 -54.072283
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94368311--0.94373937) × R
    5.62599999999192e-05 × 6371000     		dl = 358.432459999485m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94368311--0.94373937) × R
    5.62599999999192e-05 × 6371000     		dr = 358.432459999485m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32740902--0.32731315) × cos(-0.94368311) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.586809706119502 × 6371000     		do = 358.416191815078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32740902--0.32731315) × cos(-0.94373937) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.586764150069529 × 6371000     		du = 358.388366736905m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94368311)-sin(-0.94373937))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.586809706119502-0.586764150069529)×R²
    abs(-0.32731315--0.32740902)×4.55560499723617e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.55560499723617e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.55560499723617e-05×40589641000000     		ar = 128463.010664219m²