Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29352 / 44802
↖ ↑ ↗
← S 54.983918°
W 18.764649°		 ← 350.51 m → S 54.983918°
W 18.759155°		 →
↑
350.47 m
↓
↑
350.47 m
↓
S 54.987070°
W 18.764649°		 ← 350.48 m →
122 838 m²		 S 54.987070°
W 18.759155°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29352 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44802 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447883605957031 y=0.683631896972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447883605957031 × 216)
    floor (0.447883605957031 × 65536)
    floor (29352.5)     		tx = 29352
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.683631896972656 × 216)
    floor (0.683631896972656 × 65536)
    floor (44802.5)     		ty = 44802
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29352 / 44802 ti = "16/29352/44802"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29352/44802.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29352 ÷ 216
    29352 ÷ 65536     		x = 0.4478759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44802 ÷ 216
    44802 ÷ 65536     		y = 0.683624267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4478759765625 × 2 - 1) × π
    -0.104248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32750490
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.683624267578125 × 2 - 1) × π
    -0.36724853515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.15374530005551
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32750490} λ = -0.32750490}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15374530005551))-π/2
    2×atan(0.31545308767435)-π/2
    2×0.305572959372389-π/2
    0.611145918744778-1.57079632675     		φ = -0.95965041
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32750490} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.764649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95965041 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.983918°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29352 KachelY 44802 -0.32750490 -0.95965041 -18.764649 -54.983918
    Oben rechts KachelX + 1 29353 KachelY 44802 -0.32740902 -0.95965041 -18.759155 -54.983918
    Unten links KachelX 29352 KachelY + 1 44803 -0.32750490 -0.95970542 -18.764649 -54.987070
    Unten rechts KachelX + 1 29353 KachelY + 1 44803 -0.32740902 -0.95970542 -18.759155 -54.987070
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95965041--0.95970542) × R
    5.50100000000775e-05 × 6371000     		dl = 350.468710000494m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95965041--0.95970542) × R
    5.50100000000775e-05 × 6371000     		dr = 350.468710000494m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32750490--0.32740902) × cos(-0.95965041) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.573806332201139 × 6371000     		do = 350.51044725841m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32750490--0.32740902) × cos(-0.95970542) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.573761278636877 × 6371000     		du = 350.482926222002m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95965041)-sin(-0.95970542))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.573806332201139-0.573761278636877)×R²
    abs(-0.32740902--0.32750490)×4.50535642619876e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.50535642619876e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.50535642619876e-05×40589641000000     		ar = 122838.121692208m²