Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29351 / 44186
↖ ↑ ↗
← S 52.994950°
W 18.770141°		 ← 367.62 m → S 52.994950°
W 18.764649°		 →
↑
367.61 m
↓
↑
367.61 m
↓
S 52.998256°
W 18.770141°		 ← 367.60 m →
135 136 m²		 S 52.998256°
W 18.764649°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29351 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44186 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447868347167969 y=0.674232482910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447868347167969 × 216)
    floor (0.447868347167969 × 65536)
    floor (29351.5)     		tx = 29351
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.674232482910156 × 216)
    floor (0.674232482910156 × 65536)
    floor (44186.5)     		ty = 44186
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29351 / 44186 ti = "16/29351/44186"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29351/44186.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29351 ÷ 216
    29351 ÷ 65536     		x = 0.447860717773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44186 ÷ 216
    44186 ÷ 65536     		y = 0.674224853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447860717773438 × 2 - 1) × π
    -0.104278564453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32760077
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.674224853515625 × 2 - 1) × π
    -0.34844970703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.0946870397236
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32760077} λ = -0.32760077}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0946870397236))-π/2
    2×atan(0.33464432094127)-π/2
    2×0.322929978833447-π/2
    0.645859957666894-1.57079632675     		φ = -0.92493637
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32760077} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.770141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92493637 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.994950°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29351 KachelY 44186 -0.32760077 -0.92493637 -18.770141 -52.994950
    Oben rechts KachelX + 1 29352 KachelY 44186 -0.32750490 -0.92493637 -18.764649 -52.994950
    Unten links KachelX 29351 KachelY + 1 44187 -0.32760077 -0.92499407 -18.770141 -52.998256
    Unten rechts KachelX + 1 29352 KachelY + 1 44187 -0.32750490 -0.92499407 -18.764649 -52.998256
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92493637--0.92499407) × R
    5.77000000000494e-05 × 6371000     		dl = 367.606700000315m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92493637--0.92499407) × R
    5.77000000000494e-05 × 6371000     		dr = 367.606700000315m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32760077--0.32750490) × cos(-0.92493637) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.601885407402894 × 6371000     		do = 367.624245783147m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32760077--0.32750490) × cos(-0.92499407) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.601839328192657 × 6371000     		du = 367.596101165083m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92493637)-sin(-0.92499407))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.601885407402894-0.601839328192657)×R²
    abs(-0.32750490--0.32760077)×4.60792102370267e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.60792102370267e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.60792102370267e-05×40589641000000     		ar = 135135.962795044m²