Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29345 / 44188
↖ ↑ ↗
← S 53.001562°
W 18.803100°		 ← 367.57 m → S 53.001562°
W 18.797607°		 →
↑
367.54 m
↓
↑
367.54 m
↓
S 53.004868°
W 18.803100°		 ← 367.54 m →
135 092 m²		 S 53.004868°
W 18.797607°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29345 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44188 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447776794433594 y=0.674263000488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447776794433594 × 216)
    floor (0.447776794433594 × 65536)
    floor (29345.5)     		tx = 29345
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.674263000488281 × 216)
    floor (0.674263000488281 × 65536)
    floor (44188.5)     		ty = 44188
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29345 / 44188 ti = "16/29345/44188"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29345/44188.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29345 ÷ 216
    29345 ÷ 65536     		x = 0.447769165039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44188 ÷ 216
    44188 ÷ 65536     		y = 0.67425537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447769165039062 × 2 - 1) × π
    -0.104461669921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32817601
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67425537109375 × 2 - 1) × π
    -0.3485107421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.09487878732208
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32817601} λ = -0.32817601}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09487878732208))-π/2
    2×atan(0.334580159847948)-π/2
    2×0.322872278210647-π/2
    0.645744556421293-1.57079632675     		φ = -0.92505177
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32817601} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.803100°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92505177 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.001562°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29345 KachelY 44188 -0.32817601 -0.92505177 -18.803100 -53.001562
    Oben rechts KachelX + 1 29346 KachelY 44188 -0.32808014 -0.92505177 -18.797607 -53.001562
    Unten links KachelX 29345 KachelY + 1 44189 -0.32817601 -0.92510946 -18.803100 -53.004868
    Unten rechts KachelX + 1 29346 KachelY + 1 44189 -0.32808014 -0.92510946 -18.797607 -53.004868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92505177--0.92510946) × R
    5.76899999999991e-05 × 6371000     		dl = 367.542989999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92505177--0.92510946) × R
    5.76899999999991e-05 × 6371000     		dr = 367.542989999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32817601--0.32808014) × cos(-0.92505177) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.601793246978722 × 6371000     		do = 367.567955323185m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32817601--0.32808014) × cos(-0.92510946) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.601747171748109 × 6371000     		du = 367.539813135827m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92505177)-sin(-0.92510946))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.601793246978722-0.601747171748109)×R²
    abs(-0.32808014--0.32817601)×4.60752306125078e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.60752306125078e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.60752306125078e-05×40589641000000     		ar = 135091.853633672m²