Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29345 / 43993
↖ ↑ ↗
← S 52.352119°
W 18.803100°		 ← 373.07 m → S 52.352119°
W 18.797607°		 →
↑
373.09 m
↓
↑
373.09 m
↓
S 52.355474°
W 18.803100°		 ← 373.05 m →
139 183 m²		 S 52.355474°
W 18.797607°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29345 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43993 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447776794433594 y=0.671287536621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447776794433594 × 216)
    floor (0.447776794433594 × 65536)
    floor (29345.5)     		tx = 29345
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.671287536621094 × 216)
    floor (0.671287536621094 × 65536)
    floor (43993.5)     		ty = 43993
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29345 / 43993 ti = "16/29345/43993"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29345/43993.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29345 ÷ 216
    29345 ÷ 65536     		x = 0.447769165039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43993 ÷ 216
    43993 ÷ 65536     		y = 0.671279907226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447769165039062 × 2 - 1) × π
    -0.104461669921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32817601
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.671279907226562 × 2 - 1) × π
    -0.342559814453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.07618339647026
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32817601} λ = -0.32817601}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07618339647026))-π/2
    2×atan(0.340894103629151)-π/2
    2×0.328539743662615-π/2
    0.65707948732523-1.57079632675     		φ = -0.91371684
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32817601} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.803100°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91371684 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.352119°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29345 KachelY 43993 -0.32817601 -0.91371684 -18.803100 -52.352119
    Oben rechts KachelX + 1 29346 KachelY 43993 -0.32808014 -0.91371684 -18.797607 -52.352119
    Unten links KachelX 29345 KachelY + 1 43994 -0.32817601 -0.91377540 -18.803100 -52.355474
    Unten rechts KachelX + 1 29346 KachelY + 1 43994 -0.32808014 -0.91377540 -18.797607 -52.355474
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91371684--0.91377540) × R
    5.85600000000408e-05 × 6371000     		dl = 373.08576000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91371684--0.91377540) × R
    5.85600000000408e-05 × 6371000     		dr = 373.08576000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32817601--0.32808014) × cos(-0.91371684) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.610807057752451 × 6371000     		do = 373.073480704873m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32817601--0.32808014) × cos(-0.91377540) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.610760690099066 × 6371000     		du = 373.045159909261m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91371684)-sin(-0.91377540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.610807057752451-0.610760690099066)×R²
    abs(-0.32808014--0.32817601)×4.63676533849489e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.63676533849489e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.63676533849489e-05×40589641000000     		ar = 139183.120081545m²