Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29344 / 43872
↖ ↑ ↗
← S 51.944265°
W 18.808594°		 ← 376.55 m → S 51.944265°
W 18.803100°		 →
↑
376.53 m
↓
↑
376.53 m
↓
S 51.947651°
W 18.808594°		 ← 376.52 m →
141 774 m²		 S 51.947651°
W 18.803100°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29344 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43872 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447761535644531 y=0.669441223144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447761535644531 × 216)
    floor (0.447761535644531 × 65536)
    floor (29344.5)     		tx = 29344
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.669441223144531 × 216)
    floor (0.669441223144531 × 65536)
    floor (43872.5)     		ty = 43872
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29344 / 43872 ti = "16/29344/43872"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29344/43872.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29344 ÷ 216
    29344 ÷ 65536     		x = 0.44775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43872 ÷ 216
    43872 ÷ 65536     		y = 0.66943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44775390625 × 2 - 1) × π
    -0.1044921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32827189
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66943359375 × 2 - 1) × π
    -0.3388671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.06458266676221
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32827189} λ = -0.32827189}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06458266676221))-π/2
    2×atan(0.344871751183298)-π/2
    2×0.332098938573274-π/2
    0.664197877146547-1.57079632675     		φ = -0.90659845
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32827189} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.808594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90659845 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.944265°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29344 KachelY 43872 -0.32827189 -0.90659845 -18.808594 -51.944265
    Oben rechts KachelX + 1 29345 KachelY 43872 -0.32817601 -0.90659845 -18.803100 -51.944265
    Unten links KachelX 29344 KachelY + 1 43873 -0.32827189 -0.90665755 -18.808594 -51.947651
    Unten rechts KachelX + 1 29345 KachelY + 1 43873 -0.32817601 -0.90665755 -18.803100 -51.947651
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90659845--0.90665755) × R
    5.91000000000896e-05 × 6371000     		dl = 376.526100000571m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90659845--0.90665755) × R
    5.91000000000896e-05 × 6371000     		dr = 376.526100000571m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32827189--0.32817601) × cos(-0.90659845) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.616427730073519 × 6371000     		do = 376.545791228421m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32827189--0.32817601) × cos(-0.90665755) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.616381192977992 × 6371000     		du = 376.517363974743m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90659845)-sin(-0.90665755))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.616427730073519-0.616381192977992)×R²
    abs(-0.32817601--0.32827189)×4.65370955273769e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.65370955273769e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.65370955273769e-05×40589641000000     		ar = 141773.966482822m²