Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29336 / 44121
↖ ↑ ↗
← S 52.779508°
W 18.852539°		 ← 369.46 m → S 52.779508°
W 18.847046°		 →
↑
369.45 m
↓
↑
369.45 m
↓
S 52.782831°
W 18.852539°		 ← 369.43 m →
136 492 m²		 S 52.782831°
W 18.847046°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29336 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44121 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447639465332031 y=0.673240661621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447639465332031 × 216)
    floor (0.447639465332031 × 65536)
    floor (29336.5)     		tx = 29336
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.673240661621094 × 216)
    floor (0.673240661621094 × 65536)
    floor (44121.5)     		ty = 44121
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29336 / 44121 ti = "16/29336/44121"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29336/44121.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29336 ÷ 216
    29336 ÷ 65536     		x = 0.4476318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44121 ÷ 216
    44121 ÷ 65536     		y = 0.673233032226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4476318359375 × 2 - 1) × π
    -0.104736328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32903888
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.673233032226562 × 2 - 1) × π
    -0.346466064453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.08845524277299
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32903888} λ = -0.32903888}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08845524277299))-π/2
    2×atan(0.336736267924354)-π/2
    2×0.324810062580643-π/2
    0.649620125161286-1.57079632675     		φ = -0.92117620
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32903888} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.852539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92117620 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.779508°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29336 KachelY 44121 -0.32903888 -0.92117620 -18.852539 -52.779508
    Oben rechts KachelX + 1 29337 KachelY 44121 -0.32894301 -0.92117620 -18.847046 -52.779508
    Unten links KachelX 29336 KachelY + 1 44122 -0.32903888 -0.92123419 -18.852539 -52.782831
    Unten rechts KachelX + 1 29337 KachelY + 1 44122 -0.32894301 -0.92123419 -18.847046 -52.782831
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92117620--0.92123419) × R
    5.79899999999522e-05 × 6371000     		dl = 369.454289999696m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92117620--0.92123419) × R
    5.79899999999522e-05 × 6371000     		dr = 369.454289999696m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32903888--0.32894301) × cos(-0.92117620) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.604883951173923 × 6371000     		do = 369.455719646301m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32903888--0.32894301) × cos(-0.92123419) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.60483777192918 × 6371000     		du = 369.427513928384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92117620)-sin(-0.92123419))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.604883951173923-0.60483777192918)×R²
    abs(-0.32894301--0.32903888)×4.61792447435938e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.61792447435938e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.61792447435938e-05×40589641000000     		ar = 136491.79026483m²