Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29334 / 44108
↖ ↑ ↗
← S 52.736291°
W 18.863526°		 ← 369.86 m → S 52.736291°
W 18.858032°		 →
↑
369.84 m
↓
↑
369.84 m
↓
S 52.739617°
W 18.863526°		 ← 369.83 m →
136 783 m²		 S 52.739617°
W 18.858032°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29334 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44108 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447608947753906 y=0.673042297363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447608947753906 × 216)
    floor (0.447608947753906 × 65536)
    floor (29334.5)     		tx = 29334
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.673042297363281 × 216)
    floor (0.673042297363281 × 65536)
    floor (44108.5)     		ty = 44108
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29334 / 44108 ti = "16/29334/44108"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29334/44108.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29334 ÷ 216
    29334 ÷ 65536     		x = 0.447601318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44108 ÷ 216
    44108 ÷ 65536     		y = 0.67303466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447601318359375 × 2 - 1) × π
    -0.10479736328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32923063
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67303466796875 × 2 - 1) × π
    -0.3460693359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.08720888338287
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32923063} λ = -0.32923063}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08720888338287))-π/2
    2×atan(0.337156223987604)-π/2
    2×0.325187201063027-π/2
    0.650374402126054-1.57079632675     		φ = -0.92042192
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32923063} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.863526°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92042192 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.736291°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29334 KachelY 44108 -0.32923063 -0.92042192 -18.863526 -52.736291
    Oben rechts KachelX + 1 29335 KachelY 44108 -0.32913475 -0.92042192 -18.858032 -52.736291
    Unten links KachelX 29334 KachelY + 1 44109 -0.32923063 -0.92047997 -18.863526 -52.739617
    Unten rechts KachelX + 1 29335 KachelY + 1 44109 -0.32913475 -0.92047997 -18.858032 -52.739617
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92042192--0.92047997) × R
    5.80500000000317e-05 × 6371000     		dl = 369.836550000202m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92042192--0.92047997) × R
    5.80500000000317e-05 × 6371000     		dr = 369.836550000202m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32923063--0.32913475) × cos(-0.92042192) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.60548442249491 × 6371000     		do = 369.861055598147m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32923063--0.32913475) × cos(-0.92047997) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.605438221966799 × 6371000     		du = 369.832833937173m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92042192)-sin(-0.92047997))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.60548442249491-0.605438221966799)×R²
    abs(-0.32913475--0.32923063)×4.62005281109956e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.62005281109956e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.62005281109956e-05×40589641000000     		ar = 136782.918119319m²