Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29332 / 44877
↖ ↑ ↗
← S 55.219624°
W 18.874511°		 ← 348.41 m → S 55.219624°
W 18.869019°		 →
↑
348.37 m
↓
↑
348.37 m
↓
S 55.222757°
W 18.874511°		 ← 348.39 m →
121 371 m²		 S 55.222757°
W 18.869019°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29332 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44877 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447578430175781 y=0.684776306152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447578430175781 × 216)
    floor (0.447578430175781 × 65536)
    floor (29332.5)     		tx = 29332
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684776306152344 × 216)
    floor (0.684776306152344 × 65536)
    floor (44877.5)     		ty = 44877
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29332 / 44877 ti = "16/29332/44877"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29332/44877.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29332 ÷ 216
    29332 ÷ 65536     		x = 0.44757080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44877 ÷ 216
    44877 ÷ 65536     		y = 0.684768676757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44757080078125 × 2 - 1) × π
    -0.1048583984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32942237
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.684768676757812 × 2 - 1) × π
    -0.369537353515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.16093583499852
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32942237} λ = -0.32942237}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16093583499852))-π/2
    2×atan(0.313192946773755)-π/2
    2×0.303516040478284-π/2
    0.607032080956567-1.57079632675     		φ = -0.96376425
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32942237} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.874511°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96376425 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.219624°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29332 KachelY 44877 -0.32942237 -0.96376425 -18.874511 -55.219624
    Oben rechts KachelX + 1 29333 KachelY 44877 -0.32932650 -0.96376425 -18.869019 -55.219624
    Unten links KachelX 29332 KachelY + 1 44878 -0.32942237 -0.96381893 -18.874511 -55.222757
    Unten rechts KachelX + 1 29333 KachelY + 1 44878 -0.32932650 -0.96381893 -18.869019 -55.222757
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96376425--0.96381893) × R
    5.46799999999736e-05 × 6371000     		dl = 348.366279999832m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96376425--0.96381893) × R
    5.46799999999736e-05 × 6371000     		dr = 348.366279999832m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32942237--0.32932650) × cos(-0.96376425) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.570432288230483 × 6371000     		do = 348.413065264286m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32942237--0.32932650) × cos(-0.96381893) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.570387376253258 × 6371000     		du = 348.385633577871m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96376425)-sin(-0.96381893))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.570432288230483-0.570387376253258)×R²
    abs(-0.32932650--0.32942237)×4.49119772247819e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.49119772247819e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.49119772247819e-05×40589641000000     		ar = 121370.585342246m²