Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29327 / 44022
↖ ↑ ↗
← S 52.449314°
W 18.901977°		 ← 372.25 m → S 52.449314°
W 18.896484°		 →
↑
372.26 m
↓
↑
372.26 m
↓
S 52.452662°
W 18.901977°		 ← 372.22 m →
138 569 m²		 S 52.452662°
W 18.896484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29327 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44022 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447502136230469 y=0.671730041503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447502136230469 × 216)
    floor (0.447502136230469 × 65536)
    floor (29327.5)     		tx = 29327
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.671730041503906 × 216)
    floor (0.671730041503906 × 65536)
    floor (44022.5)     		ty = 44022
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29327 / 44022 ti = "16/29327/44022"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29327/44022.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29327 ÷ 216
    29327 ÷ 65536     		x = 0.447494506835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44022 ÷ 216
    44022 ÷ 65536     		y = 0.671722412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447494506835938 × 2 - 1) × π
    -0.105010986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32990174
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.671722412109375 × 2 - 1) × π
    -0.34344482421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.07896373664822
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32990174} λ = -0.32990174}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07896373664822))-π/2
    2×atan(0.339947618441515)-π/2
    2×0.327691552321347-π/2
    0.655383104642695-1.57079632675     		φ = -0.91541322
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32990174} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.901977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91541322 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.449314°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29327 KachelY 44022 -0.32990174 -0.91541322 -18.901977 -52.449314
    Oben rechts KachelX + 1 29328 KachelY 44022 -0.32980587 -0.91541322 -18.896484 -52.449314
    Unten links KachelX 29327 KachelY + 1 44023 -0.32990174 -0.91547165 -18.901977 -52.452662
    Unten rechts KachelX + 1 29328 KachelY + 1 44023 -0.32980587 -0.91547165 -18.896484 -52.452662
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91541322--0.91547165) × R
    5.84299999999427e-05 × 6371000     		dl = 372.257529999635m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91541322--0.91547165) × R
    5.84299999999427e-05 × 6371000     		dr = 372.257529999635m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32990174--0.32980587) × cos(-0.91541322) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.609463020668518 × 6371000     		do = 372.25255929158m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32990174--0.32980587) × cos(-0.91547165) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.60941669547712 × 6371000     		du = 372.224264431231m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91541322)-sin(-0.91547165))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.609463020668518-0.60941669547712)×R²
    abs(-0.32980587--0.32990174)×4.63251913984664e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.63251913984664e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.63251913984664e-05×40589641000000     		ar = 138568.551809993m²