Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29324 / 43987
↖ ↑ ↗
← S 52.331983°
W 18.918457°		 ← 373.24 m → S 52.331983°
W 18.912964°		 →
↑
373.21 m
↓
↑
373.21 m
↓
S 52.335339°
W 18.918457°		 ← 373.22 m →
139 294 m²		 S 52.335339°
W 18.912964°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43987 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447456359863281 y=0.671195983886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447456359863281 × 216)
    floor (0.447456359863281 × 65536)
    floor (29324.5)     		tx = 29324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.671195983886719 × 216)
    floor (0.671195983886719 × 65536)
    floor (43987.5)     		ty = 43987
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29324 / 43987 ti = "16/29324/43987"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29324/43987.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29324 ÷ 216
    29324 ÷ 65536     		x = 0.44744873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43987 ÷ 216
    43987 ÷ 65536     		y = 0.671188354492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44744873046875 × 2 - 1) × π
    -0.1051025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33018936
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.671188354492188 × 2 - 1) × π
    -0.342376708984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.07560815367482
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33018936} λ = -0.33018936}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07560815367482))-π/2
    2×atan(0.341090256918747)-π/2
    2×0.328715464853235-π/2
    0.65743092970647-1.57079632675     		φ = -0.91336540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33018936} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.918457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91336540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.331983°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29324 KachelY 43987 -0.33018936 -0.91336540 -18.918457 -52.331983
    Oben rechts KachelX + 1 29325 KachelY 43987 -0.33009349 -0.91336540 -18.912964 -52.331983
    Unten links KachelX 29324 KachelY + 1 43988 -0.33018936 -0.91342398 -18.918457 -52.335339
    Unten rechts KachelX + 1 29325 KachelY + 1 43988 -0.33009349 -0.91342398 -18.912964 -52.335339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91336540--0.91342398) × R
    5.85800000000303e-05 × 6371000     		dl = 373.213180000193m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91336540--0.91342398) × R
    5.85800000000303e-05 × 6371000     		dr = 373.213180000193m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33018936--0.33009349) × cos(-0.91336540) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.611085283005264 × 6371000     		do = 373.243417286596m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33018936--0.33009349) × cos(-0.91342398) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.611038912092863 × 6371000     		du = 373.215094500418m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91336540)-sin(-0.91342398))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.611085283005264-0.611038912092863)×R²
    abs(-0.33009349--0.33018936)×4.637091240145e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.637091240145e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.637091240145e-05×40589641000000     		ar = 139294.077500896m²