Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29323 / 44881
↖ ↑ ↗
← S 55.232156°
W 18.923950°		 ← 348.34 m → S 55.232156°
W 18.918457°		 →
↑
348.30 m
↓
↑
348.30 m
↓
S 55.235288°
W 18.923950°		 ← 348.31 m →
121 323 m²		 S 55.235288°
W 18.918457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29323 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44881 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447441101074219 y=0.684837341308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447441101074219 × 216)
    floor (0.447441101074219 × 65536)
    floor (29323.5)     		tx = 29323
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684837341308594 × 216)
    floor (0.684837341308594 × 65536)
    floor (44881.5)     		ty = 44881
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29323 / 44881 ti = "16/29323/44881"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29323/44881.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29323 ÷ 216
    29323 ÷ 65536     		x = 0.447433471679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44881 ÷ 216
    44881 ÷ 65536     		y = 0.684829711914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447433471679688 × 2 - 1) × π
    -0.105133056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33028524
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.684829711914062 × 2 - 1) × π
    -0.369659423828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.16131933019548
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33028524} λ = -0.33028524}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16131933019548))-π/2
    2×atan(0.31307286181042)-π/2
    2×0.303406678681524-π/2
    0.606813357363049-1.57079632675     		φ = -0.96398297
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33028524} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.923950°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96398297 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.232156°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29323 KachelY 44881 -0.33028524 -0.96398297 -18.923950 -55.232156
    Oben rechts KachelX + 1 29324 KachelY 44881 -0.33018936 -0.96398297 -18.918457 -55.232156
    Unten links KachelX 29323 KachelY + 1 44882 -0.33028524 -0.96403764 -18.923950 -55.235288
    Unten rechts KachelX + 1 29324 KachelY + 1 44882 -0.33018936 -0.96403764 -18.918457 -55.235288
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96398297--0.96403764) × R
    5.46700000000344e-05 × 6371000     		dl = 348.302570000219m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96398297--0.96403764) × R
    5.46700000000344e-05 × 6371000     		dr = 348.302570000219m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33028524--0.33018936) × cos(-0.96398297) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.570252630089706 × 6371000     		do = 348.339663064162m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33028524--0.33018936) × cos(-0.96403764) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.570207719506682 × 6371000     		du = 348.312229368055m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96398297)-sin(-0.96403764))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.570252630089706-0.570207719506682)×R²
    abs(-0.33018936--0.33028524)×4.4910583023805e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.4910583023805e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.4910583023805e-05×40589641000000     		ar = 121322.822295336m²