Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29323 / 44136
↖ ↑ ↗
← S 52.829321°
W 18.923950°		 ← 369.07 m → S 52.829321°
W 18.918457°		 →
↑
369.07 m
↓
↑
369.07 m
↓
S 52.832640°
W 18.923950°		 ← 369.04 m →
136 209 m²		 S 52.832640°
W 18.918457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29323 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44136 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447441101074219 y=0.673469543457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447441101074219 × 216)
    floor (0.447441101074219 × 65536)
    floor (29323.5)     		tx = 29323
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.673469543457031 × 216)
    floor (0.673469543457031 × 65536)
    floor (44136.5)     		ty = 44136
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29323 / 44136 ti = "16/29323/44136"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29323/44136.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29323 ÷ 216
    29323 ÷ 65536     		x = 0.447433471679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44136 ÷ 216
    44136 ÷ 65536     		y = 0.6734619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447433471679688 × 2 - 1) × π
    -0.105133056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33028524
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6734619140625 × 2 - 1) × π
    -0.346923828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.0898933497616
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33028524} λ = -0.33028524}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0898933497616))-π/2
    2×atan(0.336252353188119)-π/2
    2×0.324375367668028-π/2
    0.648750735336055-1.57079632675     		φ = -0.92204559
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33028524} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.923950°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92204559 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.829321°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29323 KachelY 44136 -0.33028524 -0.92204559 -18.923950 -52.829321
    Oben rechts KachelX + 1 29324 KachelY 44136 -0.33018936 -0.92204559 -18.918457 -52.829321
    Unten links KachelX 29323 KachelY + 1 44137 -0.33028524 -0.92210352 -18.923950 -52.832640
    Unten rechts KachelX + 1 29324 KachelY + 1 44137 -0.33018936 -0.92210352 -18.918457 -52.832640
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92204559--0.92210352) × R
    5.79299999999838e-05 × 6371000     		dl = 369.072029999897m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92204559--0.92210352) × R
    5.79299999999838e-05 × 6371000     		dr = 369.072029999897m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33028524--0.33018936) × cos(-0.92204559) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.604191415552408 × 6371000     		do = 369.071220393455m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33028524--0.33018936) × cos(-0.92210352) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.604145253642953 × 6371000     		du = 369.043022322745m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92204559)-sin(-0.92210352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.604191415552408-0.604145253642953)×R²
    abs(-0.33018936--0.33028524)×4.61619094542787e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.61619094542787e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.61619094542787e-05×40589641000000     		ar = 136208.661003954m²