Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29323 / 44011
↖ ↑ ↗
← S 52.412472°
W 18.923950°		 ← 372.60 m → S 52.412472°
W 18.918457°		 →
↑
372.51 m
↓
↑
372.51 m
↓
S 52.415822°
W 18.923950°		 ← 372.57 m →
138 794 m²		 S 52.415822°
W 18.918457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29323 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44011 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447441101074219 y=0.671562194824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447441101074219 × 216)
    floor (0.447441101074219 × 65536)
    floor (29323.5)     		tx = 29323
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.671562194824219 × 216)
    floor (0.671562194824219 × 65536)
    floor (44011.5)     		ty = 44011
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29323 / 44011 ti = "16/29323/44011"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29323/44011.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29323 ÷ 216
    29323 ÷ 65536     		x = 0.447433471679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44011 ÷ 216
    44011 ÷ 65536     		y = 0.671554565429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447433471679688 × 2 - 1) × π
    -0.105133056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33028524
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.671554565429688 × 2 - 1) × π
    -0.343109130859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.07790912485658
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33028524} λ = -0.33028524}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07790912485658))-π/2
    2×atan(0.340306320320834)-π/2
    2×0.328013060131851-π/2
    0.656026120263702-1.57079632675     		φ = -0.91477021
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33028524} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.923950°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91477021 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.412472°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29323 KachelY 44011 -0.33028524 -0.91477021 -18.923950 -52.412472
    Oben rechts KachelX + 1 29324 KachelY 44011 -0.33018936 -0.91477021 -18.918457 -52.412472
    Unten links KachelX 29323 KachelY + 1 44012 -0.33028524 -0.91482868 -18.923950 -52.415822
    Unten rechts KachelX + 1 29324 KachelY + 1 44012 -0.33018936 -0.91482868 -18.918457 -52.415822
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91477021--0.91482868) × R
    5.84699999999216e-05 × 6371000     		dl = 372.512369999501m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91477021--0.91482868) × R
    5.84699999999216e-05 × 6371000     		dr = 372.512369999501m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33028524--0.33018936) × cos(-0.91477021) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.609972682288164 × 6371000     		do = 372.602715735266m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33028524--0.33018936) × cos(-0.91482868) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.609926348305327 × 6371000     		du = 372.574412553276m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91477021)-sin(-0.91482868))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.609972682288164-0.609926348305327)×R²
    abs(-0.33018936--0.33028524)×4.63339828368214e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.63339828368214e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.63339828368214e-05×40589641000000     		ar = 138793.84910376m²