Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29322 / 44166
↖ ↑ ↗
← S 52.928774°
W 18.929443°		 ← 368.19 m → S 52.928774°
W 18.923950°		 →
↑
368.24 m
↓
↑
368.24 m
↓
S 52.932086°
W 18.929443°		 ← 368.16 m →
135 578 m²		 S 52.932086°
W 18.923950°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29322 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44166 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447425842285156 y=0.673927307128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447425842285156 × 216)
    floor (0.447425842285156 × 65536)
    floor (29322.5)     		tx = 29322
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.673927307128906 × 216)
    floor (0.673927307128906 × 65536)
    floor (44166.5)     		ty = 44166
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29322 / 44166 ti = "16/29322/44166"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29322/44166.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29322 ÷ 216
    29322 ÷ 65536     		x = 0.447418212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44166 ÷ 216
    44166 ÷ 65536     		y = 0.673919677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447418212890625 × 2 - 1) × π
    -0.10516357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33038111
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.673919677734375 × 2 - 1) × π
    -0.34783935546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.0927695637388
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33038111} λ = -0.33038111}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0927695637388))-π/2
    2×atan(0.335286608979277)-π/2
    2×0.323507471146395-π/2
    0.64701494229279-1.57079632675     		φ = -0.92378138
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33038111} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.929443°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92378138 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.928774°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29322 KachelY 44166 -0.33038111 -0.92378138 -18.929443 -52.928774
    Oben rechts KachelX + 1 29323 KachelY 44166 -0.33028524 -0.92378138 -18.923950 -52.928774
    Unten links KachelX 29322 KachelY + 1 44167 -0.33038111 -0.92383918 -18.929443 -52.932086
    Unten rechts KachelX + 1 29323 KachelY + 1 44167 -0.33028524 -0.92383918 -18.923950 -52.932086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92378138--0.92383918) × R
    5.77999999999967e-05 × 6371000     		dl = 368.243799999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92378138--0.92383918) × R
    5.77999999999967e-05 × 6371000     		dr = 368.243799999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33038111--0.33028524) × cos(-0.92378138) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.602807360503113 × 6371000     		do = 368.187363461274m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33038111--0.33028524) × cos(-0.92383918) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.602761241641312 × 6371000     		du = 368.15919462452m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92378138)-sin(-0.92383918))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.602807360503113-0.602761241641312)×R²
    abs(-0.33028524--0.33038111)×4.61188618009478e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.61188618009478e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.61188618009478e-05×40589641000000     		ar = 135577.527371243m²