Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29319 / 44137
↖ ↑ ↗
← S 52.832640°
W 18.945923°		 ← 369 m → S 52.832640°
W 18.940430°		 →
↑
368.94 m
↓
↑
368.94 m
↓
S 52.835958°
W 18.945923°		 ← 368.98 m →
136 137 m²		 S 52.835958°
W 18.940430°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29319 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44137 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447380065917969 y=0.673484802246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447380065917969 × 216)
    floor (0.447380065917969 × 65536)
    floor (29319.5)     		tx = 29319
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.673484802246094 × 216)
    floor (0.673484802246094 × 65536)
    floor (44137.5)     		ty = 44137
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29319 / 44137 ti = "16/29319/44137"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29319/44137.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29319 ÷ 216
    29319 ÷ 65536     		x = 0.447372436523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44137 ÷ 216
    44137 ÷ 65536     		y = 0.673477172851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447372436523438 × 2 - 1) × π
    -0.105255126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33066873
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.673477172851562 × 2 - 1) × π
    -0.346954345703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.08998922356084
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33066873} λ = -0.33066873}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08998922356084))-π/2
    2×atan(0.336220116942846)-π/2
    2×0.324346405711164-π/2
    0.648692811422328-1.57079632675     		φ = -0.92210352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33066873} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.945923°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92210352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.832640°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29319 KachelY 44137 -0.33066873 -0.92210352 -18.945923 -52.832640
    Oben rechts KachelX + 1 29320 KachelY 44137 -0.33057286 -0.92210352 -18.940430 -52.832640
    Unten links KachelX 29319 KachelY + 1 44138 -0.33066873 -0.92216143 -18.945923 -52.835958
    Unten rechts KachelX + 1 29320 KachelY + 1 44138 -0.33057286 -0.92216143 -18.940430 -52.835958
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92210352--0.92216143) × R
    5.79099999999944e-05 × 6371000     		dl = 368.944609999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92210352--0.92216143) × R
    5.79099999999944e-05 × 6371000     		dr = 368.944609999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33066873--0.33057286) × cos(-0.92210352) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.604145253642953 × 6371000     		do = 369.004532228656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33066873--0.33057286) × cos(-0.92216143) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.604099105644241 × 6371000     		du = 368.976345595432m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92210352)-sin(-0.92216143))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.604145253642953-0.604099105644241)×R²
    abs(-0.33057286--0.33066873)×4.61479987121649e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.61479987121649e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.61479987121649e-05×40589641000000     		ar = 136137.033616229m²