Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29317 / 44247
↖ ↑ ↗
← S 53.196161°
W 18.956909°		 ← 365.91 m → S 53.196161°
W 18.951416°		 →
↑
365.95 m
↓
↑
365.95 m
↓
S 53.199452°
W 18.956909°		 ← 365.88 m →
133 899 m²		 S 53.199452°
W 18.951416°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29317 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44247 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447349548339844 y=0.675163269042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447349548339844 × 216)
    floor (0.447349548339844 × 65536)
    floor (29317.5)     		tx = 29317
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.675163269042969 × 216)
    floor (0.675163269042969 × 65536)
    floor (44247.5)     		ty = 44247
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29317 / 44247 ti = "16/29317/44247"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29317/44247.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29317 ÷ 216
    29317 ÷ 65536     		x = 0.447341918945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44247 ÷ 216
    44247 ÷ 65536     		y = 0.675155639648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447341918945312 × 2 - 1) × π
    -0.105316162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33086048
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.675155639648438 × 2 - 1) × π
    -0.350311279296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.10053534147725
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33086048} λ = -0.33086048}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10053534147725))-π/2
    2×atan(0.332692931690733)-π/2
    2×0.321174082230031-π/2
    0.642348164460062-1.57079632675     		φ = -0.92844816
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33086048} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.956909°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92844816 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.196161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29317 KachelY 44247 -0.33086048 -0.92844816 -18.956909 -53.196161
    Oben rechts KachelX + 1 29318 KachelY 44247 -0.33076461 -0.92844816 -18.951416 -53.196161
    Unten links KachelX 29317 KachelY + 1 44248 -0.33086048 -0.92850560 -18.956909 -53.199452
    Unten rechts KachelX + 1 29318 KachelY + 1 44248 -0.33076461 -0.92850560 -18.951416 -53.199452
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92844816--0.92850560) × R
    5.74400000000752e-05 × 6371000     		dl = 365.950240000479m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92844816--0.92850560) × R
    5.74400000000752e-05 × 6371000     		dr = 365.950240000479m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33086048--0.33076461) × cos(-0.92844816) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.599077247823102 × 6371000     		do = 365.909056255602m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33086048--0.33076461) × cos(-0.92850560) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.599031255130401 × 6371000     		du = 365.88096448139m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92844816)-sin(-0.92850560))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.599077247823102-0.599031255130401)×R²
    abs(-0.33076461--0.33086048)×4.59926927014465e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.59926927014465e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.59926927014465e-05×40589641000000     		ar = 133899.366896319m²