Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29316 / 44162
↖ ↑ ↗
← S 52.915527°
W 18.962402°		 ← 368.30 m → S 52.915527°
W 18.956909°		 →
↑
368.24 m
↓
↑
368.24 m
↓
S 52.918839°
W 18.962402°		 ← 368.27 m →
135 619 m²		 S 52.918839°
W 18.956909°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29316 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44162 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447334289550781 y=0.673866271972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447334289550781 × 216)
    floor (0.447334289550781 × 65536)
    floor (29316.5)     		tx = 29316
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.673866271972656 × 216)
    floor (0.673866271972656 × 65536)
    floor (44162.5)     		ty = 44162
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29316 / 44162 ti = "16/29316/44162"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29316/44162.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29316 ÷ 216
    29316 ÷ 65536     		x = 0.44732666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44162 ÷ 216
    44162 ÷ 65536     		y = 0.673858642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44732666015625 × 2 - 1) × π
    -0.1053466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33095635
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.673858642578125 × 2 - 1) × π
    -0.34771728515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.09238606854184
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33095635} λ = -0.33095635}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09238606854184))-π/2
    2×atan(0.335415214441638)-π/2
    2×0.323623075694169-π/2
    0.647246151388338-1.57079632675     		φ = -0.92355018
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33095635} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.962402°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92355018 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.915527°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29316 KachelY 44162 -0.33095635 -0.92355018 -18.962402 -52.915527
    Oben rechts KachelX + 1 29317 KachelY 44162 -0.33086048 -0.92355018 -18.956909 -52.915527
    Unten links KachelX 29316 KachelY + 1 44163 -0.33095635 -0.92360798 -18.962402 -52.918839
    Unten rechts KachelX + 1 29317 KachelY + 1 44163 -0.33086048 -0.92360798 -18.956909 -52.918839
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92355018--0.92360798) × R
    5.77999999999967e-05 × 6371000     		dl = 368.243799999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92355018--0.92360798) × R
    5.77999999999967e-05 × 6371000     		dr = 368.243799999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33095635--0.33086048) × cos(-0.92355018) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.602991815809947 × 6371000     		do = 368.3000265068m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33095635--0.33086048) × cos(-0.92360798) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.602945705004602 × 6371000     		du = 368.271862590831m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92355018)-sin(-0.92360798))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.602991815809947-0.602945705004602)×R²
    abs(-0.33086048--0.33095635)×4.6110805344779e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.6110805344779e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.6110805344779e-05×40589641000000     		ar = 135619.015744948m²