Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29315 / 43995
↖ ↑ ↗
← S 52.358829°
W 18.967896°		 ← 373.06 m → S 52.358829°
W 18.962402°		 →
↑
373.02 m
↓
↑
373.02 m
↓
S 52.362183°
W 18.967896°		 ← 373.03 m →
139 153 m²		 S 52.362183°
W 18.962402°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29315 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43995 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447319030761719 y=0.671318054199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447319030761719 × 216)
    floor (0.447319030761719 × 65536)
    floor (29315.5)     		tx = 29315
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.671318054199219 × 216)
    floor (0.671318054199219 × 65536)
    floor (43995.5)     		ty = 43995
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29315 / 43995 ti = "16/29315/43995"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29315/43995.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29315 ÷ 216
    29315 ÷ 65536     		x = 0.447311401367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43995 ÷ 216
    43995 ÷ 65536     		y = 0.671310424804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447311401367188 × 2 - 1) × π
    -0.105377197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33105223
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.671310424804688 × 2 - 1) × π
    -0.342620849609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.07637514406874
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33105223} λ = -0.33105223}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07637514406874))-π/2
    2×atan(0.340828744269895)-π/2
    2×0.328481187714627-π/2
    0.656962375429254-1.57079632675     		φ = -0.91383395
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33105223} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.967896°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91383395 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.358829°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29315 KachelY 43995 -0.33105223 -0.91383395 -18.967896 -52.358829
    Oben rechts KachelX + 1 29316 KachelY 43995 -0.33095635 -0.91383395 -18.962402 -52.358829
    Unten links KachelX 29315 KachelY + 1 43996 -0.33105223 -0.91389250 -18.967896 -52.362183
    Unten rechts KachelX + 1 29316 KachelY + 1 43996 -0.33095635 -0.91389250 -18.962402 -52.362183
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91383395--0.91389250) × R
    5.85499999999906e-05 × 6371000     		dl = 373.02204999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91383395--0.91389250) × R
    5.85499999999906e-05 × 6371000     		dr = 373.02204999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33105223--0.33095635) × cos(-0.91383395) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.610714328269726 × 6371000     		do = 373.055751280739m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33105223--0.33095635) × cos(-0.91389250) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.610667964346794 × 6371000     		du = 373.027429809798m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91383395)-sin(-0.91389250))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.610714328269726-0.610667964346794)×R²
    abs(-0.33095635--0.33105223)×4.63639229316692e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.63639229316692e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.63639229316692e-05×40589641000000     		ar = 139152.738880069m²