Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29314 / 44241
↖ ↑ ↗
← S 53.176412°
W 18.973389°		 ← 366.08 m → S 53.176412°
W 18.967896°		 →
↑
366.08 m
↓
↑
366.08 m
↓
S 53.179704°
W 18.973389°		 ← 366.05 m →
134 008 m²		 S 53.179704°
W 18.967896°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29314 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44241 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447303771972656 y=0.675071716308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447303771972656 × 216)
    floor (0.447303771972656 × 65536)
    floor (29314.5)     		tx = 29314
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.675071716308594 × 216)
    floor (0.675071716308594 × 65536)
    floor (44241.5)     		ty = 44241
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29314 / 44241 ti = "16/29314/44241"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29314/44241.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29314 ÷ 216
    29314 ÷ 65536     		x = 0.447296142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44241 ÷ 216
    44241 ÷ 65536     		y = 0.675064086914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447296142578125 × 2 - 1) × π
    -0.10540771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33114810
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.675064086914062 × 2 - 1) × π
    -0.350128173828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.09996009868181
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33114810} λ = -0.33114810}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09996009868181))-π/2
    2×atan(0.332884365958095)-π/2
    2×0.321346429349236-π/2
    0.642692858698473-1.57079632675     		φ = -0.92810347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33114810} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.973389°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92810347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.176412°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29314 KachelY 44241 -0.33114810 -0.92810347 -18.973389 -53.176412
    Oben rechts KachelX + 1 29315 KachelY 44241 -0.33105223 -0.92810347 -18.967896 -53.176412
    Unten links KachelX 29314 KachelY + 1 44242 -0.33114810 -0.92816093 -18.973389 -53.179704
    Unten rechts KachelX + 1 29315 KachelY + 1 44242 -0.33105223 -0.92816093 -18.967896 -53.179704
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92810347--0.92816093) × R
    5.74599999999537e-05 × 6371000     		dl = 366.077659999705m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92810347--0.92816093) × R
    5.74599999999537e-05 × 6371000     		dr = 366.077659999705m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33114810--0.33105223) × cos(-0.92810347) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.599353202490314 × 6371000     		do = 366.077605991409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33114810--0.33105223) × cos(-0.92816093) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.599307205650633 × 6371000     		du = 366.049511684274m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92810347)-sin(-0.92816093))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.599353202490314-0.599307205650633)×R²
    abs(-0.33105223--0.33114810)×4.59968396804289e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.59968396804289e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.59968396804289e-05×40589641000000     		ar = 134007.691067125m²