Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29311 / 43947
↖ ↑ ↗
← S 52.197507°
W 18.989868°		 ← 374.38 m → S 52.197507°
W 18.984375°		 →
↑
374.36 m
↓
↑
374.36 m
↓
S 52.200874°
W 18.989868°		 ← 374.35 m →
140 146 m²		 S 52.200874°
W 18.984375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29311 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43947 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447257995605469 y=0.670585632324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447257995605469 × 216)
    floor (0.447257995605469 × 65536)
    floor (29311.5)     		tx = 29311
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.670585632324219 × 216)
    floor (0.670585632324219 × 65536)
    floor (43947.5)     		ty = 43947
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29311 / 43947 ti = "16/29311/43947"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29311/43947.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29311 ÷ 216
    29311 ÷ 65536     		x = 0.447250366210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43947 ÷ 216
    43947 ÷ 65536     		y = 0.670578002929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447250366210938 × 2 - 1) × π
    -0.105499267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33143572
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.670578002929688 × 2 - 1) × π
    -0.341156005859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.07177320170522
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33143572} λ = -0.33143572}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07177320170522))-π/2
    2×atan(0.34240083306341)-π/2
    2×0.329888985413406-π/2
    0.659777970826812-1.57079632675     		φ = -0.91101836
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33143572} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.989868°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91101836 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.197507°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29311 KachelY 43947 -0.33143572 -0.91101836 -18.989868 -52.197507
    Oben rechts KachelX + 1 29312 KachelY 43947 -0.33133985 -0.91101836 -18.984375 -52.197507
    Unten links KachelX 29311 KachelY + 1 43948 -0.33143572 -0.91107712 -18.989868 -52.200874
    Unten rechts KachelX + 1 29312 KachelY + 1 43948 -0.33133985 -0.91107712 -18.984375 -52.200874
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91101836--0.91107712) × R
    5.87599999999355e-05 × 6371000     		dl = 374.359959999589m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91101836--0.91107712) × R
    5.87599999999355e-05 × 6371000     		dr = 374.359959999589m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33143572--0.33133985) × cos(-0.91101836) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.612941432354764 × 6371000     		do = 374.377130608564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33143572--0.33133985) × cos(-0.91107712) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.612895003355115 × 6371000     		du = 374.348772343405m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91101836)-sin(-0.91107712))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.612941432354764-0.612895003355115)×R²
    abs(-0.33133985--0.33143572)×4.64289996486844e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.64289996486844e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.64289996486844e-05×40589641000000     		ar = 140146.499580161m²