Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29309 / 44159
↖ ↑ ↗
← S 52.905589°
W 19.000854°		 ← 368.38 m → S 52.905589°
W 18.995361°		 →
↑
368.37 m
↓
↑
368.37 m
↓
S 52.908902°
W 19.000854°		 ← 368.36 m →
135 697 m²		 S 52.908902°
W 18.995361°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29309 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44159 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447227478027344 y=0.673820495605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447227478027344 × 216)
    floor (0.447227478027344 × 65536)
    floor (29309.5)     		tx = 29309
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.673820495605469 × 216)
    floor (0.673820495605469 × 65536)
    floor (44159.5)     		ty = 44159
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29309 / 44159 ti = "16/29309/44159"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29309/44159.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29309 ÷ 216
    29309 ÷ 65536     		x = 0.447219848632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44159 ÷ 216
    44159 ÷ 65536     		y = 0.673812866210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447219848632812 × 2 - 1) × π
    -0.105560302734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33162747
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.673812866210938 × 2 - 1) × π
    -0.347625732421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.09209844714412
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33162747} λ = -0.33162747}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09209844714412))-π/2
    2×atan(0.335511700909553)-π/2
    2×0.323709802317997-π/2
    0.647419604635994-1.57079632675     		φ = -0.92337672
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33162747} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.000854°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92337672 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.905589°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29309 KachelY 44159 -0.33162747 -0.92337672 -19.000854 -52.905589
    Oben rechts KachelX + 1 29310 KachelY 44159 -0.33153160 -0.92337672 -18.995361 -52.905589
    Unten links KachelX 29309 KachelY + 1 44160 -0.33162747 -0.92343454 -19.000854 -52.908902
    Unten rechts KachelX + 1 29310 KachelY + 1 44160 -0.33153160 -0.92343454 -18.995361 -52.908902
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92337672--0.92343454) × R
    5.78199999999862e-05 × 6371000     		dl = 368.371219999912m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92337672--0.92343454) × R
    5.78199999999862e-05 × 6371000     		dr = 368.371219999912m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33162747--0.33153160) × cos(-0.92337672) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.603130183996937 × 6371000     		do = 368.384540103171m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33162747--0.33153160) × cos(-0.92343454) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.603084063284091 × 6371000     		du = 368.356370135821m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92337672)-sin(-0.92343454))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603130183996937-0.603084063284091)×R²
    abs(-0.33153160--0.33162747)×4.61207128462648e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.61207128462648e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.61207128462648e-05×40589641000000     		ar = 135697.074002067m²