Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29308 / 44748
↖ ↑ ↗
← S 54.813348°
W 19.006348°		 ← 352 m → S 54.813348°
W 19.000854°		 →
↑
352 m
↓
↑
352 m
↓
S 54.816514°
W 19.006348°		 ← 351.97 m →
123 898 m²		 S 54.816514°
W 19.000854°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29308 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44748 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447212219238281 y=0.682807922363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447212219238281 × 216)
    floor (0.447212219238281 × 65536)
    floor (29308.5)     		tx = 29308
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682807922363281 × 216)
    floor (0.682807922363281 × 65536)
    floor (44748.5)     		ty = 44748
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29308 / 44748 ti = "16/29308/44748"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29308/44748.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29308 ÷ 216
    29308 ÷ 65536     		x = 0.44720458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44748 ÷ 216
    44748 ÷ 65536     		y = 0.68280029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44720458984375 × 2 - 1) × π
    -0.1055908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33172335
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68280029296875 × 2 - 1) × π
    -0.3656005859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.14856811489655
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33172335} λ = -0.33172335}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14856811489655))-π/2
    2×atan(0.317090481606703)-π/2
    2×0.307061461443512-π/2
    0.614122922887024-1.57079632675     		φ = -0.95667340
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33172335} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.006348°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95667340 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.813348°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29308 KachelY 44748 -0.33172335 -0.95667340 -19.006348 -54.813348
    Oben rechts KachelX + 1 29309 KachelY 44748 -0.33162747 -0.95667340 -19.000854 -54.813348
    Unten links KachelX 29308 KachelY + 1 44749 -0.33172335 -0.95672865 -19.006348 -54.816514
    Unten rechts KachelX + 1 29309 KachelY + 1 44749 -0.33162747 -0.95672865 -19.000854 -54.816514
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95667340--0.95672865) × R
    5.52499999999512e-05 × 6371000     		dl = 351.997749999689m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95667340--0.95672865) × R
    5.52499999999512e-05 × 6371000     		dr = 351.997749999689m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33172335--0.33162747) × cos(-0.95667340) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.576241930357531 × 6371000     		do = 351.998235996928m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33172335--0.33162747) × cos(-0.95672865) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.576196774804041 × 6371000     		du = 351.970652660248m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95667340)-sin(-0.95672865))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.576241930357531-0.576196774804041)×R²
    abs(-0.33162747--0.33172335)×4.51555534909387e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.51555534909387e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.51555534909387e-05×40589641000000     		ar = 123897.732470162m²