Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29308 / 44268
↖ ↑ ↗
← S 53.265213°
W 19.006348°		 ← 365.36 m → S 53.265213°
W 19.000854°		 →
↑
365.31 m
↓
↑
365.31 m
↓
S 53.268498°
W 19.006348°		 ← 365.33 m →
133 465 m²		 S 53.268498°
W 19.000854°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29308 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44268 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447212219238281 y=0.675483703613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447212219238281 × 216)
    floor (0.447212219238281 × 65536)
    floor (29308.5)     		tx = 29308
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.675483703613281 × 216)
    floor (0.675483703613281 × 65536)
    floor (44268.5)     		ty = 44268
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29308 / 44268 ti = "16/29308/44268"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29308/44268.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29308 ÷ 216
    29308 ÷ 65536     		x = 0.44720458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44268 ÷ 216
    44268 ÷ 65536     		y = 0.67547607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44720458984375 × 2 - 1) × π
    -0.1055908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33172335
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67547607421875 × 2 - 1) × π
    -0.3509521484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.10254869126129
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33172335} λ = -0.33172335}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10254869126129))-π/2
    2×atan(0.332023778294523)-π/2
    2×0.320571492193816-π/2
    0.641142984387633-1.57079632675     		φ = -0.92965334
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33172335} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.006348°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92965334 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.265213°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29308 KachelY 44268 -0.33172335 -0.92965334 -19.006348 -53.265213
    Oben rechts KachelX + 1 29309 KachelY 44268 -0.33162747 -0.92965334 -19.000854 -53.265213
    Unten links KachelX 29308 KachelY + 1 44269 -0.33172335 -0.92971068 -19.006348 -53.268498
    Unten rechts KachelX + 1 29309 KachelY + 1 44269 -0.33162747 -0.92971068 -19.000854 -53.268498
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92965334--0.92971068) × R
    5.73400000000168e-05 × 6371000     		dl = 365.313140000107m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92965334--0.92971068) × R
    5.73400000000168e-05 × 6371000     		dr = 365.313140000107m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33172335--0.33162747) × cos(-0.92965334) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.598111835928641 × 6371000     		do = 365.3575001825m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33172335--0.33162747) × cos(-0.92971068) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.598065881944195 × 6371000     		du = 365.329429123089m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92965334)-sin(-0.92971068))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.598111835928641-0.598065881944195)×R²
    abs(-0.33162747--0.33172335)×4.59539844465118e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.59539844465118e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.59539844465118e-05×40589641000000     		ar = 133464.768287197m²