Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29308 / 43974
↖ ↑ ↗
← S 52.288323°
W 19.006348°		 ← 373.65 m → S 52.288323°
W 19.000854°		 →
↑
373.60 m
↓
↑
373.60 m
↓
S 52.291682°
W 19.006348°		 ← 373.62 m →
139 589 m²		 S 52.291682°
W 19.000854°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29308 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43974 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447212219238281 y=0.670997619628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447212219238281 × 216)
    floor (0.447212219238281 × 65536)
    floor (29308.5)     		tx = 29308
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.670997619628906 × 216)
    floor (0.670997619628906 × 65536)
    floor (43974.5)     		ty = 43974
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29308 / 43974 ti = "16/29308/43974"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29308/43974.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29308 ÷ 216
    29308 ÷ 65536     		x = 0.44720458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43974 ÷ 216
    43974 ÷ 65536     		y = 0.670989990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44720458984375 × 2 - 1) × π
    -0.1055908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33172335
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.670989990234375 × 2 - 1) × π
    -0.34197998046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.0743617942847
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33172335} λ = -0.33172335}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0743617942847))-π/2
    2×atan(0.341515643000238)-π/2
    2×0.329096468671506-π/2
    0.658192937343012-1.57079632675     		φ = -0.91260339
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33172335} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.006348°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91260339 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.288323°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29308 KachelY 43974 -0.33172335 -0.91260339 -19.006348 -52.288323
    Oben rechts KachelX + 1 29309 KachelY 43974 -0.33162747 -0.91260339 -19.000854 -52.288323
    Unten links KachelX 29308 KachelY + 1 43975 -0.33172335 -0.91266203 -19.006348 -52.291682
    Unten rechts KachelX + 1 29309 KachelY + 1 43975 -0.33162747 -0.91266203 -19.000854 -52.291682
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91260339--0.91266203) × R
    5.86399999999987e-05 × 6371000     		dl = 373.595439999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91260339--0.91266203) × R
    5.86399999999987e-05 × 6371000     		dr = 373.595439999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33172335--0.33162747) × cos(-0.91260339) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.611688285797177 × 6371000     		do = 373.65069467784m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33172335--0.33162747) × cos(-0.91266203) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.611641894707075 × 6371000     		du = 373.622356611792m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91260339)-sin(-0.91266203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.611688285797177-0.611641894707075)×R²
    abs(-0.33162747--0.33172335)×4.63910901016273e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.63910901016273e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.63910901016273e-05×40589641000000     		ar = 139588.902238569m²