Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29307 / 43972
↖ ↑ ↗
← S 52.281602°
W 19.011841°		 ← 373.67 m → S 52.281602°
W 19.006348°		 →
↑
373.66 m
↓
↑
373.66 m
↓
S 52.284962°
W 19.011841°		 ← 373.64 m →
139 619 m²		 S 52.284962°
W 19.006348°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29307 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43972 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447196960449219 y=0.670967102050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447196960449219 × 216)
    floor (0.447196960449219 × 65536)
    floor (29307.5)     		tx = 29307
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.670967102050781 × 216)
    floor (0.670967102050781 × 65536)
    floor (43972.5)     		ty = 43972
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29307 / 43972 ti = "16/29307/43972"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29307/43972.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29307 ÷ 216
    29307 ÷ 65536     		x = 0.447189331054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43972 ÷ 216
    43972 ÷ 65536     		y = 0.67095947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447189331054688 × 2 - 1) × π
    -0.105621337890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33181922
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67095947265625 × 2 - 1) × π
    -0.3419189453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.07417004668622
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33181922} λ = -0.33181922}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07417004668622))-π/2
    2×atan(0.341581134083305)-π/2
    2×0.329155117999508-π/2
    0.658310235999015-1.57079632675     		φ = -0.91248609
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33181922} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.011841°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91248609 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.281602°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29307 KachelY 43972 -0.33181922 -0.91248609 -19.011841 -52.281602
    Oben rechts KachelX + 1 29308 KachelY 43972 -0.33172335 -0.91248609 -19.006348 -52.281602
    Unten links KachelX 29307 KachelY + 1 43973 -0.33181922 -0.91254474 -19.011841 -52.284962
    Unten rechts KachelX + 1 29308 KachelY + 1 43973 -0.33172335 -0.91254474 -19.006348 -52.284962
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91248609--0.91254474) × R
    5.86499999999379e-05 × 6371000     		dl = 373.659149999604m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91248609--0.91254474) × R
    5.86499999999379e-05 × 6371000     		dr = 373.659149999604m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33181922--0.33172335) × cos(-0.91248609) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.611781077487618 × 6371000     		do = 373.668400047068m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33181922--0.33172335) × cos(-0.91254474) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.611734682694527 × 6371000     		du = 373.640062674856m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91248609)-sin(-0.91254474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.611781077487618-0.611734682694527)×R²
    abs(-0.33172335--0.33181922)×4.639479309132e-05×R²
    9.58700000000534e-05×4.639479309132e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×4.639479309132e-05×40589641000000     		ar = 139619.322523951m²