Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29305 / 44262
↖ ↑ ↗
← S 53.245495°
W 19.022827°		 ← 365.53 m → S 53.245495°
W 19.017334°		 →
↑
365.50 m
↓
↑
365.50 m
↓
S 53.248782°
W 19.022827°		 ← 365.50 m →
133 596 m²		 S 53.248782°
W 19.017334°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29305 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44262 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447166442871094 y=0.675392150878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447166442871094 × 216)
    floor (0.447166442871094 × 65536)
    floor (29305.5)     		tx = 29305
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.675392150878906 × 216)
    floor (0.675392150878906 × 65536)
    floor (44262.5)     		ty = 44262
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29305 / 44262 ti = "16/29305/44262"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29305/44262.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29305 ÷ 216
    29305 ÷ 65536     		x = 0.447158813476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44262 ÷ 216
    44262 ÷ 65536     		y = 0.675384521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447158813476562 × 2 - 1) × π
    -0.105682373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33201097
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.675384521484375 × 2 - 1) × π
    -0.35076904296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.10197344846585
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33201097} λ = -0.33201097}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10197344846585))-π/2
    2×atan(0.33221482752548)-π/2
    2×0.320743561611652-π/2
    0.641487123223304-1.57079632675     		φ = -0.92930920
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33201097} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.022827°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92930920 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.245495°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29305 KachelY 44262 -0.33201097 -0.92930920 -19.022827 -53.245495
    Oben rechts KachelX + 1 29306 KachelY 44262 -0.33191509 -0.92930920 -19.017334 -53.245495
    Unten links KachelX 29305 KachelY + 1 44263 -0.33201097 -0.92936657 -19.022827 -53.248782
    Unten rechts KachelX + 1 29306 KachelY + 1 44263 -0.33191509 -0.92936657 -19.017334 -53.248782
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92930920--0.92936657) × R
    5.73700000000565e-05 × 6371000     		dl = 365.50427000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92930920--0.92936657) × R
    5.73700000000565e-05 × 6371000     		dr = 365.50427000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33201097--0.33191509) × cos(-0.92930920) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.598387598653849 × 6371000     		do = 365.525950251321m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33201097--0.33191509) × cos(-0.92936657) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.598341632436971 × 6371000     		du = 365.497871719711m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92930920)-sin(-0.92936657))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.598387598653849-0.598341632436971)×R²
    abs(-0.33191509--0.33201097)×4.59662168780239e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.59662168780239e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.59662168780239e-05×40589641000000     		ar = 133596.164237907m²