Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29304 / 44158
↖ ↑ ↗
← S 52.902276°
W 19.028320°		 ← 368.41 m → S 52.902276°
W 19.022827°		 →
↑
368.37 m
↓
↑
368.37 m
↓
S 52.905589°
W 19.028320°		 ← 368.38 m →
135 707 m²		 S 52.905589°
W 19.022827°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29304 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44158 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447151184082031 y=0.673805236816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447151184082031 × 216)
    floor (0.447151184082031 × 65536)
    floor (29304.5)     		tx = 29304
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.673805236816406 × 216)
    floor (0.673805236816406 × 65536)
    floor (44158.5)     		ty = 44158
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29304 / 44158 ti = "16/29304/44158"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29304/44158.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29304 ÷ 216
    29304 ÷ 65536     		x = 0.4471435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44158 ÷ 216
    44158 ÷ 65536     		y = 0.673797607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4471435546875 × 2 - 1) × π
    -0.105712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33210684
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.673797607421875 × 2 - 1) × π
    -0.34759521484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.09200257334488
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33210684} λ = -0.33210684}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09200257334488))-π/2
    2×atan(0.335543869233034)-π/2
    2×0.323738715614516-π/2
    0.647477431229032-1.57079632675     		φ = -0.92331890
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33210684} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.028320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92331890 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.902276°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29304 KachelY 44158 -0.33210684 -0.92331890 -19.028320 -52.902276
    Oben rechts KachelX + 1 29305 KachelY 44158 -0.33201097 -0.92331890 -19.022827 -52.902276
    Unten links KachelX 29304 KachelY + 1 44159 -0.33210684 -0.92337672 -19.028320 -52.905589
    Unten rechts KachelX + 1 29305 KachelY + 1 44159 -0.33201097 -0.92337672 -19.022827 -52.905589
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92331890--0.92337672) × R
    5.78199999999862e-05 × 6371000     		dl = 368.371219999912m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92331890--0.92337672) × R
    5.78199999999862e-05 × 6371000     		dr = 368.371219999912m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33210684--0.33201097) × cos(-0.92331890) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.603176302693427 × 6371000     		do = 368.412708838955m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33210684--0.33201097) × cos(-0.92337672) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.603130183996937 × 6371000     		du = 368.384540103171m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92331890)-sin(-0.92337672))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603176302693427-0.603130183996937)×R²
    abs(-0.33201097--0.33210684)×4.61186964900717e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.61186964900717e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.61186964900717e-05×40589641000000     		ar = 135707.45078058m²