Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29304 / 44097
↖ ↑ ↗
← S 52.699690°
W 19.028320°		 ← 370.13 m → S 52.699690°
W 19.022827°		 →
↑
370.09 m
↓
↑
370.09 m
↓
S 52.703019°
W 19.028320°		 ← 370.10 m →
136 978 m²		 S 52.703019°
W 19.022827°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29304 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44097 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447151184082031 y=0.672874450683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447151184082031 × 216)
    floor (0.447151184082031 × 65536)
    floor (29304.5)     		tx = 29304
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.672874450683594 × 216)
    floor (0.672874450683594 × 65536)
    floor (44097.5)     		ty = 44097
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29304 / 44097 ti = "16/29304/44097"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29304/44097.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29304 ÷ 216
    29304 ÷ 65536     		x = 0.4471435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44097 ÷ 216
    44097 ÷ 65536     		y = 0.672866821289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4471435546875 × 2 - 1) × π
    -0.105712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33210684
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.672866821289062 × 2 - 1) × π
    -0.345733642578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.08615427159123
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33210684} λ = -0.33210684}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08615427159123))-π/2
    2×atan(0.337511980476568)-π/2
    2×0.325506610569864-π/2
    0.651013221139727-1.57079632675     		φ = -0.91978311
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33210684} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.028320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91978311 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.699690°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29304 KachelY 44097 -0.33210684 -0.91978311 -19.028320 -52.699690
    Oben rechts KachelX + 1 29305 KachelY 44097 -0.33201097 -0.91978311 -19.022827 -52.699690
    Unten links KachelX 29304 KachelY + 1 44098 -0.33210684 -0.91984120 -19.028320 -52.703019
    Unten rechts KachelX + 1 29305 KachelY + 1 44098 -0.33201097 -0.91984120 -19.022827 -52.703019
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91978311--0.91984120) × R
    5.80900000000106e-05 × 6371000     		dl = 370.091390000068m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91978311--0.91984120) × R
    5.80900000000106e-05 × 6371000     		dr = 370.091390000068m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33210684--0.33201097) × cos(-0.91978311) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.605992700428204 × 6371000     		do = 370.132930130813m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33210684--0.33201097) × cos(-0.91984120) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.605946490541577 × 6371000     		du = 370.104705697208m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91978311)-sin(-0.91984120))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.605992700428204-0.605946490541577)×R²
    abs(-0.33201097--0.33210684)×4.62098866274019e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.62098866274019e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.62098866274019e-05×40589641000000     		ar = 136977.787825345m²