Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29303 / 44104
↖ ↑ ↗
← S 52.722986°
W 19.033813°		 ← 369.94 m → S 52.722986°
W 19.028320°		 →
↑
369.90 m
↓
↑
369.90 m
↓
S 52.726312°
W 19.033813°		 ← 369.91 m →
136 834 m²		 S 52.726312°
W 19.028320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29303 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447135925292969 y=0.672981262207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447135925292969 × 216)
    floor (0.447135925292969 × 65536)
    floor (29303.5)     		tx = 29303
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.672981262207031 × 216)
    floor (0.672981262207031 × 65536)
    floor (44104.5)     		ty = 44104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29303 / 44104 ti = "16/29303/44104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29303/44104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29303 ÷ 216
    29303 ÷ 65536     		x = 0.447128295898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44104 ÷ 216
    44104 ÷ 65536     		y = 0.6729736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447128295898438 × 2 - 1) × π
    -0.105743408203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33220271
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6729736328125 × 2 - 1) × π
    -0.345947265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.08682538818591
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33220271} λ = -0.33220271}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08682538818591))-π/2
    2×atan(0.337285546575839)-π/2
    2×0.325303318964321-π/2
    0.650606637928643-1.57079632675     		φ = -0.92018969
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33220271} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.033813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92018969 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.722986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29303 KachelY 44104 -0.33220271 -0.92018969 -19.033813 -52.722986
    Oben rechts KachelX + 1 29304 KachelY 44104 -0.33210684 -0.92018969 -19.028320 -52.722986
    Unten links KachelX 29303 KachelY + 1 44105 -0.33220271 -0.92024775 -19.033813 -52.726312
    Unten rechts KachelX + 1 29304 KachelY + 1 44105 -0.33210684 -0.92024775 -19.028320 -52.726312
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92018969--0.92024775) × R
    5.80600000000819e-05 × 6371000     		dl = 369.900260000522m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92018969--0.92024775) × R
    5.80600000000819e-05 × 6371000     		dr = 369.900260000522m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33220271--0.33210684) × cos(-0.92018969) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.605669228073663 × 6371000     		do = 369.935357172726m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33220271--0.33210684) × cos(-0.92024775) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.605623027751476 × 6371000     		du = 369.907138580964m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92018969)-sin(-0.92024775))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.605669228073663-0.605623027751476)×R²
    abs(-0.33210684--0.33220271)×4.62003221873841e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.62003221873841e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.62003221873841e-05×40589641000000     		ar = 136833.965807435m²