Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29302 / 44105
↖ ↑ ↗
← S 52.726312°
W 19.039307°		 ← 369.95 m → S 52.726312°
W 19.033813°		 →
↑
369.96 m
↓
↑
369.96 m
↓
S 52.729639°
W 19.039307°		 ← 369.92 m →
136 861 m²		 S 52.729639°
W 19.033813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29302 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44105 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447120666503906 y=0.672996520996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447120666503906 × 216)
    floor (0.447120666503906 × 65536)
    floor (29302.5)     		tx = 29302
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.672996520996094 × 216)
    floor (0.672996520996094 × 65536)
    floor (44105.5)     		ty = 44105
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29302 / 44105 ti = "16/29302/44105"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29302/44105.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29302 ÷ 216
    29302 ÷ 65536     		x = 0.447113037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44105 ÷ 216
    44105 ÷ 65536     		y = 0.672988891601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447113037109375 × 2 - 1) × π
    -0.10577392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33229859
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.672988891601562 × 2 - 1) × π
    -0.345977783203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.08692126198515
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33229859} λ = -0.33229859}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08692126198515))-π/2
    2×atan(0.337253211279139)-π/2
    2×0.325274286166752-π/2
    0.650548572333504-1.57079632675     		φ = -0.92024775
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33229859} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.039307°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92024775 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.726312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29302 KachelY 44105 -0.33229859 -0.92024775 -19.039307 -52.726312
    Oben rechts KachelX + 1 29303 KachelY 44105 -0.33220271 -0.92024775 -19.033813 -52.726312
    Unten links KachelX 29302 KachelY + 1 44106 -0.33229859 -0.92030582 -19.039307 -52.729639
    Unten rechts KachelX + 1 29303 KachelY + 1 44106 -0.33220271 -0.92030582 -19.033813 -52.729639
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92024775--0.92030582) × R
    5.80700000000212e-05 × 6371000     		dl = 369.963970000135m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92024775--0.92030582) × R
    5.80700000000212e-05 × 6371000     		dr = 369.963970000135m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33229859--0.33220271) × cos(-0.92024775) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.605623027751476 × 6371000     		do = 369.945722824042m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33229859--0.33220271) × cos(-0.92030582) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.605576817429887 × 6371000     		du = 369.917495180708m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92024775)-sin(-0.92030582))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.605623027751476-0.605576817429887)×R²
    abs(-0.33220271--0.33229859)×4.62103215890242e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.62103215890242e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.62103215890242e-05×40589641000000     		ar = 136861.366733487m²