Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29301 / 43596
↖ ↑ ↗
← S 50.999929°
W 19.044800°		 ← 384.38 m → S 50.999929°
W 19.039307°		 →
↑
384.36 m
↓
↑
384.36 m
↓
S 51.003386°
W 19.044800°		 ← 384.35 m →
147 736 m²		 S 51.003386°
W 19.039307°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29301 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43596 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447105407714844 y=0.665229797363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447105407714844 × 216)
    floor (0.447105407714844 × 65536)
    floor (29301.5)     		tx = 29301
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665229797363281 × 216)
    floor (0.665229797363281 × 65536)
    floor (43596.5)     		ty = 43596
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29301 / 43596 ti = "16/29301/43596"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29301/43596.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29301 ÷ 216
    29301 ÷ 65536     		x = 0.447097778320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43596 ÷ 216
    43596 ÷ 65536     		y = 0.66522216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447097778320312 × 2 - 1) × π
    -0.105804443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33239446
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66522216796875 × 2 - 1) × π
    -0.3304443359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.03812149817194
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33239446} λ = -0.33239446}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03812149817194))-π/2
    2×atan(0.354119271245641)-π/2
    2×0.340339824997977-π/2
    0.680679649995954-1.57079632675     		φ = -0.89011668
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33239446} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.044800°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89011668 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.999929°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29301 KachelY 43596 -0.33239446 -0.89011668 -19.044800 -50.999929
    Oben rechts KachelX + 1 29302 KachelY 43596 -0.33229859 -0.89011668 -19.039307 -50.999929
    Unten links KachelX 29301 KachelY + 1 43597 -0.33239446 -0.89017701 -19.044800 -51.003386
    Unten rechts KachelX + 1 29302 KachelY + 1 43597 -0.33229859 -0.89017701 -19.039307 -51.003386
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89011668--0.89017701) × R
    6.03300000000528e-05 × 6371000     		dl = 384.362430000337m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89011668--0.89017701) × R
    6.03300000000528e-05 × 6371000     		dr = 384.362430000337m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33239446--0.33229859) × cos(-0.89011668) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.629321353557924 × 6371000     		do = 384.381786153017m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33239446--0.33229859) × cos(-0.89017701) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.629274467243847 × 6371000     		du = 384.353148565799m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89011668)-sin(-0.89017701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.629321353557924-0.629274467243847)×R²
    abs(-0.33229859--0.33239446)×4.68863140768994e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.68863140768994e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.68863140768994e-05×40589641000000     		ar = 147736.413811994m²