Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29300 / 44232
↖ ↑ ↗
← S 53.146770°
W 19.050293°		 ← 366.37 m → S 53.146770°
W 19.044800°		 →
↑
366.33 m
↓
↑
366.33 m
↓
S 53.150065°
W 19.050293°		 ← 366.34 m →
134 208 m²		 S 53.150065°
W 19.044800°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29300 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447090148925781 y=0.674934387207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447090148925781 × 216)
    floor (0.447090148925781 × 65536)
    floor (29300.5)     		tx = 29300
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.674934387207031 × 216)
    floor (0.674934387207031 × 65536)
    floor (44232.5)     		ty = 44232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29300 / 44232 ti = "16/29300/44232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29300/44232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29300 ÷ 216
    29300 ÷ 65536     		x = 0.44708251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44232 ÷ 216
    44232 ÷ 65536     		y = 0.6749267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44708251953125 × 2 - 1) × π
    -0.1058349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33249034
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6749267578125 × 2 - 1) × π
    -0.349853515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.09909723448865
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33249034} λ = -0.33249034}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09909723448865))-π/2
    2×atan(0.33317172391556)-π/2
    2×0.321605098869577-π/2
    0.643210197739155-1.57079632675     		φ = -0.92758613
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33249034} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.050293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92758613 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.146770°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29300 KachelY 44232 -0.33249034 -0.92758613 -19.050293 -53.146770
    Oben rechts KachelX + 1 29301 KachelY 44232 -0.33239446 -0.92758613 -19.044800 -53.146770
    Unten links KachelX 29300 KachelY + 1 44233 -0.33249034 -0.92764363 -19.050293 -53.150065
    Unten rechts KachelX + 1 29301 KachelY + 1 44233 -0.33239446 -0.92764363 -19.044800 -53.150065
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92758613--0.92764363) × R
    5.75000000000436e-05 × 6371000     		dl = 366.332500000278m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92758613--0.92764363) × R
    5.75000000000436e-05 × 6371000     		dr = 366.332500000278m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33249034--0.33239446) × cos(-0.92758613) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.599767245015635 × 6371000     		do = 366.368709273295m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33249034--0.33239446) × cos(-0.92764363) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.599721233989653 × 6371000     		du = 366.340603369978m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92758613)-sin(-0.92764363))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.599767245015635-0.599721233989653)×R²
    abs(-0.33239446--0.33249034)×4.60110259822288e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.60110259822288e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.60110259822288e-05×40589641000000     		ar = 134207.617173976m²