Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29300 / 44172
↖ ↑ ↗
← S 52.948638°
W 19.050293°		 ← 368.06 m → S 52.948638°
W 19.044800°		 →
↑
367.99 m
↓
↑
367.99 m
↓
S 52.951948°
W 19.050293°		 ← 368.03 m →
135 436 m²		 S 52.951948°
W 19.044800°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29300 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44172 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447090148925781 y=0.674018859863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447090148925781 × 216)
    floor (0.447090148925781 × 65536)
    floor (29300.5)     		tx = 29300
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.674018859863281 × 216)
    floor (0.674018859863281 × 65536)
    floor (44172.5)     		ty = 44172
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29300 / 44172 ti = "16/29300/44172"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29300/44172.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29300 ÷ 216
    29300 ÷ 65536     		x = 0.44708251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44172 ÷ 216
    44172 ÷ 65536     		y = 0.67401123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44708251953125 × 2 - 1) × π
    -0.1058349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33249034
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67401123046875 × 2 - 1) × π
    -0.3480224609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.09334480653424
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33249034} λ = -0.33249034}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09334480653424))-π/2
    2×atan(0.335093793236304)-π/2
    2×0.323334130638154-π/2
    0.646668261276307-1.57079632675     		φ = -0.92412807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33249034} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.050293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92412807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.948638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29300 KachelY 44172 -0.33249034 -0.92412807 -19.050293 -52.948638
    Oben rechts KachelX + 1 29301 KachelY 44172 -0.33239446 -0.92412807 -19.044800 -52.948638
    Unten links KachelX 29300 KachelY + 1 44173 -0.33249034 -0.92418583 -19.050293 -52.951948
    Unten rechts KachelX + 1 29301 KachelY + 1 44173 -0.33239446 -0.92418583 -19.044800 -52.951948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92412807--0.92418583) × R
    5.77600000000178e-05 × 6371000     		dl = 367.988960000113m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92412807--0.92418583) × R
    5.77600000000178e-05 × 6371000     		dr = 367.988960000113m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33249034--0.33239446) × cos(-0.92412807) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.602530704919987 × 6371000     		do = 368.056772845789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33249034--0.33239446) × cos(-0.92418583) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.602484605907175 × 6371000     		du = 368.028613195586m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92412807)-sin(-0.92418583))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.602530704919987-0.602484605907175)×R²
    abs(-0.33239446--0.33249034)×4.60990128114958e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.60990128114958e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.60990128114958e-05×40589641000000     		ar = 135435.647878206m²