Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29299 / 44152
↖ ↑ ↗
← S 52.882391°
W 19.055786°		 ← 368.58 m → S 52.882391°
W 19.050293°		 →
↑
368.63 m
↓
↑
368.63 m
↓
S 52.885706°
W 19.055786°		 ← 368.55 m →
135 864 m²		 S 52.885706°
W 19.050293°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29299 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44152 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447074890136719 y=0.673713684082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447074890136719 × 216)
    floor (0.447074890136719 × 65536)
    floor (29299.5)     		tx = 29299
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.673713684082031 × 216)
    floor (0.673713684082031 × 65536)
    floor (44152.5)     		ty = 44152
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29299 / 44152 ti = "16/29299/44152"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29299/44152.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29299 ÷ 216
    29299 ÷ 65536     		x = 0.447067260742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44152 ÷ 216
    44152 ÷ 65536     		y = 0.6737060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447067260742188 × 2 - 1) × π
    -0.105865478515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33258621
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6737060546875 × 2 - 1) × π
    -0.347412109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.09142733054944
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33258621} λ = -0.33258621}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09142733054944))-π/2
    2×atan(0.335736943953462)-π/2
    2×0.323912241828752-π/2
    0.647824483657503-1.57079632675     		φ = -0.92297184
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33258621} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.055786°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92297184 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.882391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29299 KachelY 44152 -0.33258621 -0.92297184 -19.055786 -52.882391
    Oben rechts KachelX + 1 29300 KachelY 44152 -0.33249034 -0.92297184 -19.050293 -52.882391
    Unten links KachelX 29299 KachelY + 1 44153 -0.33258621 -0.92302970 -19.055786 -52.885706
    Unten rechts KachelX + 1 29300 KachelY + 1 44153 -0.33249034 -0.92302970 -19.050293 -52.885706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92297184--0.92302970) × R
    5.78599999999652e-05 × 6371000     		dl = 368.626059999778m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92297184--0.92302970) × R
    5.78599999999652e-05 × 6371000     		dr = 368.626059999778m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33258621--0.33249034) × cos(-0.92297184) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.603453084156052 × 6371000     		do = 368.581763571289m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33258621--0.33249034) × cos(-0.92302970) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.603406945668485 × 6371000     		du = 368.553582747357m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92297184)-sin(-0.92302970))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603453084156052-0.603406945668485)×R²
    abs(-0.33249034--0.33258621)×4.61384875674042e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.61384875674042e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.61384875674042e-05×40589641000000     		ar = 135863.649237731m²