Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29297 / 44751
↖ ↑ ↗
← S 54.822843°
W 19.066773°		 ← 351.92 m → S 54.822843°
W 19.061279°		 →
↑
351.93 m
↓
↑
351.93 m
↓
S 54.826008°
W 19.066773°		 ← 351.89 m →
123 846 m²		 S 54.826008°
W 19.061279°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29297 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44751 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447044372558594 y=0.682853698730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447044372558594 × 216)
    floor (0.447044372558594 × 65536)
    floor (29297.5)     		tx = 29297
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682853698730469 × 216)
    floor (0.682853698730469 × 65536)
    floor (44751.5)     		ty = 44751
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29297 / 44751 ti = "16/29297/44751"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29297/44751.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29297 ÷ 216
    29297 ÷ 65536     		x = 0.447036743164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44751 ÷ 216
    44751 ÷ 65536     		y = 0.682846069335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447036743164062 × 2 - 1) × π
    -0.105926513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33277796
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.682846069335938 × 2 - 1) × π
    -0.365692138671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.14885573629427
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33277796} λ = -0.33277796}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14885573629427))-π/2
    2×atan(0.316999292713746)-π/2
    2×0.306978601428842-π/2
    0.613957202857683-1.57079632675     		φ = -0.95683912
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33277796} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.066773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95683912 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.822843°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29297 KachelY 44751 -0.33277796 -0.95683912 -19.066773 -54.822843
    Oben rechts KachelX + 1 29298 KachelY 44751 -0.33268208 -0.95683912 -19.061279 -54.822843
    Unten links KachelX 29297 KachelY + 1 44752 -0.33277796 -0.95689436 -19.066773 -54.826008
    Unten rechts KachelX + 1 29298 KachelY + 1 44752 -0.33268208 -0.95689436 -19.061279 -54.826008
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95683912--0.95689436) × R
    5.52400000000119e-05 × 6371000     		dl = 351.934040000076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95683912--0.95689436) × R
    5.52400000000119e-05 × 6371000     		dr = 351.934040000076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33277796--0.33268208) × cos(-0.95683912) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.576106482941806 × 6371000     		do = 351.91549774257m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33277796--0.33268208) × cos(-0.95689436) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.576061330287118 × 6371000     		du = 351.887916176628m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95683912)-sin(-0.95689436))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.576106482941806-0.576061330287118)×R²
    abs(-0.33268208--0.33277796)×4.51526546877412e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.51526546877412e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.51526546877412e-05×40589641000000     		ar = 123846.189444655m²