Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29295 / 43967
↖ ↑ ↗
← S 52.264796°
W 19.077759°		 ← 373.81 m → S 52.264796°
W 19.072266°		 →
↑
373.79 m
↓
↑
373.79 m
↓
S 52.268157°
W 19.077759°		 ← 373.78 m →
139 720 m²		 S 52.268157°
W 19.072266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29295 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43967 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447013854980469 y=0.670890808105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447013854980469 × 216)
    floor (0.447013854980469 × 65536)
    floor (29295.5)     		tx = 29295
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.670890808105469 × 216)
    floor (0.670890808105469 × 65536)
    floor (43967.5)     		ty = 43967
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29295 / 43967 ti = "16/29295/43967"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29295/43967.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29295 ÷ 216
    29295 ÷ 65536     		x = 0.447006225585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43967 ÷ 216
    43967 ÷ 65536     		y = 0.670883178710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447006225585938 × 2 - 1) × π
    -0.105987548828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33296970
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.670883178710938 × 2 - 1) × π
    -0.341766357421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.07369067769002
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33296970} λ = -0.33296970}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07369067769002))-π/2
    2×atan(0.3417449167417)-π/2
    2×0.329301780242714-π/2
    0.658603560485428-1.57079632675     		φ = -0.91219277
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33296970} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.077759°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91219277 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.264796°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29295 KachelY 43967 -0.33296970 -0.91219277 -19.077759 -52.264796
    Oben rechts KachelX + 1 29296 KachelY 43967 -0.33287383 -0.91219277 -19.072266 -52.264796
    Unten links KachelX 29295 KachelY + 1 43968 -0.33296970 -0.91225144 -19.077759 -52.268157
    Unten rechts KachelX + 1 29296 KachelY + 1 43968 -0.33287383 -0.91225144 -19.072266 -52.268157
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91219277--0.91225144) × R
    5.86700000000384e-05 × 6371000     		dl = 373.786570000245m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91219277--0.91225144) × R
    5.86700000000384e-05 × 6371000     		dr = 373.786570000245m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33296970--0.33287383) × cos(-0.91219277) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.612013075242945 × 6371000     		do = 373.810101438473m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33296970--0.33287383) × cos(-0.91225144) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.611966675158383 × 6371000     		du = 373.781760834295m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91219277)-sin(-0.91225144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.612013075242945-0.611966675158383)×R²
    abs(-0.33287383--0.33296970)×4.64000845624701e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.64000845624701e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.64000845624701e-05×40589641000000     		ar = 139719.899019434m²