Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29294 / 44175
↖ ↑ ↗
← S 52.958566°
W 19.083252°		 ← 367.97 m → S 52.958566°
W 19.077759°		 →
↑
367.93 m
↓
↑
367.93 m
↓
S 52.961875°
W 19.083252°		 ← 367.94 m →
135 381 m²		 S 52.961875°
W 19.077759°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29294 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44175 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446998596191406 y=0.674064636230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446998596191406 × 216)
    floor (0.446998596191406 × 65536)
    floor (29294.5)     		tx = 29294
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.674064636230469 × 216)
    floor (0.674064636230469 × 65536)
    floor (44175.5)     		ty = 44175
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29294 / 44175 ti = "16/29294/44175"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29294/44175.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29294 ÷ 216
    29294 ÷ 65536     		x = 0.446990966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44175 ÷ 216
    44175 ÷ 65536     		y = 0.674057006835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446990966796875 × 2 - 1) × π
    -0.10601806640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33306558
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.674057006835938 × 2 - 1) × π
    -0.348114013671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.09363242793196
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33306558} λ = -0.33306558}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09363242793196))-π/2
    2×atan(0.334997426950293)-π/2
    2×0.323247490220822-π/2
    0.646494980441644-1.57079632675     		φ = -0.92430135
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33306558} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.083252°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92430135 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.958566°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29294 KachelY 44175 -0.33306558 -0.92430135 -19.083252 -52.958566
    Oben rechts KachelX + 1 29295 KachelY 44175 -0.33296970 -0.92430135 -19.077759 -52.958566
    Unten links KachelX 29294 KachelY + 1 44176 -0.33306558 -0.92435910 -19.083252 -52.961875
    Unten rechts KachelX + 1 29295 KachelY + 1 44176 -0.33296970 -0.92435910 -19.077759 -52.961875
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92430135--0.92435910) × R
    5.77499999999675e-05 × 6371000     		dl = 367.925249999793m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92430135--0.92435910) × R
    5.77499999999675e-05 × 6371000     		dr = 367.925249999793m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33306558--0.33296970) × cos(-0.92430135) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.602392401851647 × 6371000     		do = 367.972290212018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33306558--0.33296970) × cos(-0.92435910) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.602346304791586 × 6371000     		du = 367.944131754656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92430135)-sin(-0.92435910))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.602392401851647-0.602346304791586)×R²
    abs(-0.33296970--0.33306558)×4.60970600604238e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.60970600604238e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.60970600604238e-05×40589641000000     		ar = 135381.116803264m²