Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29293 / 43885
↖ ↑ ↗
← S 51.988263°
W 19.088745°		 ← 376.14 m → S 51.988263°
W 19.083252°		 →
↑
376.14 m
↓
↑
376.14 m
↓
S 51.991646°
W 19.088745°		 ← 376.11 m →
141 476 m²		 S 51.991646°
W 19.083252°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29293 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43885 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446983337402344 y=0.669639587402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446983337402344 × 216)
    floor (0.446983337402344 × 65536)
    floor (29293.5)     		tx = 29293
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.669639587402344 × 216)
    floor (0.669639587402344 × 65536)
    floor (43885.5)     		ty = 43885
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29293 / 43885 ti = "16/29293/43885"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29293/43885.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29293 ÷ 216
    29293 ÷ 65536     		x = 0.446975708007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43885 ÷ 216
    43885 ÷ 65536     		y = 0.669631958007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446975708007812 × 2 - 1) × π
    -0.106048583984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33316145
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.669631958007812 × 2 - 1) × π
    -0.339263916015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.06582902615233
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33316145} λ = -0.33316145}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06582902615233))-π/2
    2×atan(0.344442184790484)-π/2
    2×0.331714981803974-π/2
    0.663429963607947-1.57079632675     		φ = -0.90736636
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33316145} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.088745°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90736636 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.988263°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29293 KachelY 43885 -0.33316145 -0.90736636 -19.088745 -51.988263
    Oben rechts KachelX + 1 29294 KachelY 43885 -0.33306558 -0.90736636 -19.083252 -51.988263
    Unten links KachelX 29293 KachelY + 1 43886 -0.33316145 -0.90742540 -19.088745 -51.991646
    Unten rechts KachelX + 1 29294 KachelY + 1 43886 -0.33306558 -0.90742540 -19.083252 -51.991646
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90736636--0.90742540) × R
    5.90400000000102e-05 × 6371000     		dl = 376.143840000065m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90736636--0.90742540) × R
    5.90400000000102e-05 × 6371000     		dr = 376.143840000065m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33316145--0.33306558) × cos(-0.90736636) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.61582288722682 × 6371000     		do = 376.137088004223m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33316145--0.33306558) × cos(-0.90742540) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.615776369445696 × 6371000     		du = 376.108675512425m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90736636)-sin(-0.90742540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.61582288722682-0.615776369445696)×R²
    abs(-0.33306558--0.33316145)×4.6517781124078e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.6517781124078e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.6517781124078e-05×40589641000000     		ar = 141476.305097517m²